Leurs beautés mathématique et philosophique.
Les deux adjectifs sont à mettre au singulier en effet. On peut même se poser la question pour « leurs beautés » ou « leur beauté » : y a-t-il plusieurs beautés de chaque sorte / Si oui, on laisse au pluriel, si non, le singulier convient.

Votre nom est   un nom propre, il commence par une lettre

Leur naissance était nécessaire.
Ils préfèrent oublier une partie de leur vie.
Il s’agit d’une naissance, d’une vie pour chacun.
Au singulier :
sa naissance était nécessaire – il préfère oublier une partie de sa vie
—
Comparez :
Pierre est allé en Inde, Jean en Espagne, Jules en Chine : leur voyage était nécessaire
Pierre est allés plusieurs fois en Inde, Jules deux fois en Chine :  leurs voyages étaient nécessaires

Il ne trouvait aucune réponse qui pût le satisfaire.
Le choix de l’imparfait du subjonctif est correct, la phrase étant au passé.
Avec une phrase au présent:
Il ne trouve aucune réponse qui puisse le satisfaire.
Le verbe de la subordonnée est au subjonctif présent.

Remarque : le subjonctif imparfait est très peu employé de nos jours, même à l’écrit, c’est pourquoi on accepte le subjonctif présent dans une phrase au passé (Il ne trouvait aucune réponse qui puisse le satisfaire n’est donc pas considéré comme erroné).

La bonne construction est j’imagine qu’il arrive plutôt que je’ l’imagine qui arrive
En effet imaginer quelqu’un…  signifie : « Concevoir l’image de quelqu’un ou de quelque chose sous tel ou tel aspect, dans telle ou telle circonstance » (TLF).
Or, ici, il ne s’agit pas d’un aspect ou d’une circonstance comme dans  je l’imagine heureux ou je l’imagine dans sa nouvelle maison, mais d’une action .

Votre question est un peu trop rapide. Le contexte permettrait une réponse précise.
– pour on et nous :
On peut avoir le sens de nous, mais pas toujours. Il est souvent aussi pronom indéfini*.
Quand on lui donne le sens de nous dans un récit écrit, il convient en effet de choisir l’un ou l’autre et de s’y tenir.
Il faut veiller, quand on utilise on au sens de nous, à ce que les possessifs 3e personne du singulier (par exemple) soient possibles**.
On est senti moins soutenu que nous généralement.

– pour ça ou cela : ça est la forme orale de cela, à l’écrit il est senti comme familier.

Vous évoquez le dialogue : il va de soi que les paroles rapportées d’un personnage sont censées reproduire l’oral et le style est généralement différent du récit proprement dit, d’où un emploi de ça et de on sans doute plus fréquent. (Il est possible, et même courant d’avoir nous et cela dans le déroulé du récit et on et ça dans les paroles rapportées.

Voici des exemples car, comme je le signalais pour votre question, le contexte est nécessaire :
* voyez la différence entre  : on a toujours besoin d’un plus petit que soi et on a passé de bonnes vacances.
** par exemple
Nous sommes allés chercher notre colis
On est allés chercher … (son est impossible) notre colis
–> en ce cas, on ne peut éviter le on .. nous. Pour un style soigné, il faut revoir le texte en amont et opter pour le nous.

Haut/haute, adjectif a plusieurs acceptions et notamment : qui est situé à la partie la plus élevée ou au-dessus des choses de même espèce. (TLF – c’est moi qui souligne)
Et c’est bien le cas ici.

Il faut déjà préciser qu’on a là du discours indirect libre et c’est ce qui provoque votre hésitation. Le discours indirect libre se situe entre le discours indirect et les paroles rapportées directement.
Voici ce que donne votre énoncé au discours direct :
« S’est-elle déjà placée sans que je n’en sache rien ? « 
au discours indirect :
Il se demandait si elle s’était déjà placée sans qu’il n’en sût rien.
–> le discours indirect libre  (c’est à dire votre énoncé
comme l’énoncé au discours direct :
– ne subordonne pas la ou les propositions contenant les paroles à  une principale
– emploie le  point d’interrogation
comme l’énoncé au discours indirect :
– emploie les temps du récit (ici les temps du passé)

—>3 S’était-elle déjà placée sans qu’il n’en sût rien ?

Dans votre second message vous proposez : 1 S’était-elle déjà placée sans qu’il n’en ait rien su ?
La stricte concordance des temps voudrait : 2 S’était-elle déjà placée sans qu’il n’en eût rien su ?
Comme vous voyez on retombe sur la même question.
Réponse : le temps employé en 2 : le subjonctif plus que parfait, comme le temps employé en 3  : e subjonctif imparfait, tombent en désuétude. Il est largement accepté d’utiliser, même dans un texte au passé, les subjonctifs présent et passé (« normalement » réservés pour un texte au présent).

votre énoncé
–> s’était-elle déjà placée sans qu’il n’en sût rien / ou sans qu’il n’en sache rien : vous avez donc le choix.

Bonjour à tous, certaines images figurant en signature mail ont décidé de faire des leurs.
-Pas de virgule après « mail »  : on ne sépare pas le sujet de son verbe.

– en effet « figurant » est un participe présent : c’est un verbe parce qu’il a un complément circonstanciel de manière.
Les formes en -ant s’accordent quand ils sont adjectifs verbaux. Or, un adjectif n »a pas de complément circonstanciel.

Les deux auxiliaire sont en concurrence  quand il n’y a pas de COD. C’est le cas ici.

Voir la BDL : MONTER : conjugaison avec ÊTRE et AVOIR | BDL

Quelques extraits de l’article :
Lorsque le verbe n’a pas de complément direct, les deux auxiliaires sont en concurrence. Autrefois, on privilégiait l’auxiliaire avoir lorsqu’on mettait l’accent sur l’action effectuée, et l’auxiliaire être lorsqu’on mettait l’accent sur le résultat de l’action. Aujourd’hui, toutefois, les tendances diffèrent.
[…]
Lorsque monter est employé en parlant d’un niveau ou d’un prix, l’auxiliaire avoir est plus souvent employé que l’auxiliaire être.