1. C’était un de ces demandeurs d’asile que la mairie avait cherché à installer dans la ville.  Vous avez raison : la mairie ne cherchait pas les demandeurs d’asile.

2. Les Cheyennes. Les Indiens Cheyennes ou les Indiens cheyennes : vous hésitez ? moi aussi. out le monde : ce peut être l’un ou l’autre. On a le choix.

3. Il avait soutenu une thèse en chimie ou une thèse de chimie ? (en économie ou d’économie ?
Le TLF  propose les deux, qu’il y soit ou non mention de « doctorat ».
Thèse (de doctorat) de/en droit

Pour marquer la possession c’est bien « de » qui convient.
Il est à noter que la préposition « à » est utilisé parfois dans un langage relâché. Ainsi, le nom choisi pour un restaurant rustique  : la Ferme à Dédé.
Attention,  voici la cause de l’erreur :  quand la chose possédée est séparée de son possesseur par le verbe être, on utilise la préposition « à » :
Ces chaussures sont à Dédé mais les chaussures de Dédé sont usées

Au pluriel, le nom « affaires » désigne quelque chose de plus précis qu’au singulier. Il signifie  :

• 1. Ensemble des activités économiques et financières : Un commerçant dur en affaires.
• 2. Gestion des intérêts de l’État et des collectivités publiques : Les affaires étrangères.
• 3. Ensemble des intérêts matériels et financiers d’un particulier et des problèmes posés par la gestion de ses biens : Administrer sagement ses affaires.

Au singulier « affaire » ne concerne quelque chose de précis que dans le sens juridique ou policier : l’affaire Landru par exemple.

Exhorter quelqu’un à = inciter quelqu’un à , inviter quelqu’un à, pousser quelqu’un à
il  exhortait les citoyens au calme et à la prudence : le pronom qui reprend l’élément souligné est Y qui signifie « à cela ». >> il y exhortait les citoyens

Y reprend un complément (autre qu’humain*)  introduit par « à ». Les complément introduits par « de » sont repris par le pronom « de ».
J’ai peur de ces bruits > j’en ai peur
Je pense à ces instants > j’y pense

>>> Je vous y exhorte.

*je pense à Charles > je pense à lui (et non j’y pense)

Le subjonctif n’exprime pas ici une incertitude et dans tous les cas, ce n’est pas vraiment ce qu’exprime le subjonctif.. Le subjonctif exprime qu’un fait est l’objet d’une pensée.
La subordonnée sujet (c’est le cas ici) se met toujours au subjonctif.
Parce qu’elle est l’objet de la pensée exprimée dans la principale.

Attention : l’infinitif n’est possible qu’à l’écritpour les injonctions.
On écrira donc, soit  : un conseil : ne laisser personne parler pour vous ou ne laissez personne parler pour vous.
Mais dans le cas de l’oral ou de la transcription de  paroles : elle me conseilla : « ne laissez personne parler pour vous ».

Ce qu’on voit mieux quand il n’y a pas d’homophonie entre l’infinitif et le verbe conjugué :
Le maître dit : sortez  en silence, fermez la porte (l’infinitif est très improbable ici et serait à la limite utilisé pour un effet particulier)
Dans le règlement on pouvait lire : sortir en silence – fermer la porte – etc

Il ne trouvait pas le repos et ne comprenait pas comment il pouvait en être autrement pour qui que ce fût.
Il ne trouvait pas le repos et ne comprenait pas comment il aurait pu en être autrement pour qui que ce fût.

– Voici les deux possibilités (on peut aussi remplacer « il aurait pu » par le conditionnel passé 2e forme :  « il eût pu » mais ce serait très soutenu)
– j’ai remplacé le subjonctif présent par le subjonctif imparfait (« qui que ce soit » par « qui que ce fût »)pour respecter la concordance des temps, la phrase étant au passé, mais vous pouvez quand même garder le subjonctif présent : cela est toléré, le subjonctif passé étant un peu désuet.

Je voyais au loin le panneau « Morlaix ». 
Les guillemets montrent que « Morlaix » est ce qui apparaît sur le panneau. Sans guillemets, le deuxième nom semble qualifier le premier, comme dans cet exemple : j’ai rencontré le chien Milou dans le chemin.
Mes petits-enfants m’appellent mamie. 
Je ne mettrais pas de guillemets parce que le terme mamie est annoncé par le verbe « appeler ». Et pas de majuscule si on suit le TLF, dont l’exemple ci-dessous :
On m’avait suggéré de l’appeler mamie

écrit-on « en pierre apparente » (si l’on suit la liaison) ou « en pierres apparentes » (si l’on suppose que la maison est faite de plusieurs pierres) ?
Mon premier réflexe : si j’écris : j’ai construit une maison en pierre, je fais référence à la matière, ce qui n’est pas cohérent avec l’adjectif « apparente ». Il m’a semblé que la logique demandait le pluriel : une maison en pierres apparentes. L’absence de liaison serait fautive, si on veut ; mais on peut se rappeler que les liaisons sont parfois fluctuantes.

Et puis, votre judicieuse remarque sur l’absence de liaison me travaillant tout de même, j’ai réfléchi à nouveau.
Au bout du compte, j’écrirais une maison en pierre apparente, le singulier prenant ici valeur d’extension générique : « la pierre » pour les pierres en général, comme on dit j’ai utilisé la brique romaine, pour des briques romaines.

Raison est le plus souvent suivi de « de » (et parfois de  « pour »)
Avoir ses raisons de + infinitif dit le TLF et donc également avoir des raisons de
>> elle aurait de bonnes raisons d’agir de la sorte / pour agir de la sorte.

Et ce sont ceux qu’aura le plus écorchés ma folie qui devront rire le plus.
« Le plus » est adverbe et modifie « rire ».
La règle du PP s’applique (auxiliaire avoir) avec le COD placé avant, comme d’habitude