il a atteint les objectifs dans le temps qu’il s’était fixé.
De quelque façon qu’on comprenne cette phrase, le pronom relatif « que » a forcément pour antécédent « temps », c’est à dire le nom qui le précède.
« Dans le temps » est un complément déplaçable du verbe « atteindre » et le sens exclut qu’il soit un complément du nom « objectifs » . 
Si on veut exprimer l’idée que ce sont les objectifs qui sont fixés, déterminés (et non le temps) :     il a atteint les objectifs qu’il s’était fixés dans les temps. Cette fois, le nom qui précède le pronom relatif « que » est « objectifs ».

votre message dégage une telle bienveillance que cela me fait chaud au cœur

Le verbe « dégager » s’emploie au sens propre pour quelque chose de matériel : dégager de la chaleur, de l’ammoniaque, du chlore.
Il me semble que le verbe « exprimer » serait plus élégant. Mais les verbes ne manquent pas :
votre message exprime une telle bienveillance que cela me fait chaud au cœur
votre message révèle  une telle bienveillance que cela me fait chaud au cœur
votre message montre une telle bienveillance que cela me fait chaud au cœur
votre message manifeste une telle bienveillance que cela me fait chaud au cœur
votre message témoigne d’une telle bienveillance que cela me fait chaud au cœur

à ce que je vois est une locution, certes, mais pas entièrement figée. La personne et le temps peuvent changer: à ce que nous voyons – à ce que je voyais.

à ce que je vois signifie d’après ce que je vois :  « voir » est ici un fait précisément présenté comme réel et dont découle la suite de l’énoncé.  C’est l’indicatif  qui est le mode du réel.

Nous » peut en effet, avoir différentes valeurs.
Il y a le « nous exclusif » qui correspond à « nous autres » et le « nous inclusif » qui correspond à moi et toi/vous.

Lorsque nous avons une piètre image de nous-mêmes, nous avons tendance à nous sentir indignes de confiance.

Ici le « nous » est clairement inclusif même si cette inclusion est très large et du même type que : nous sommes tous des mortels.
L’adjectif se met au pluriel dans les deux cas.
Ce serait d’ailleurs le cas aussi avec un nous exclusif : nous ne sommes pas plus bêtes que vous
—
Les seuls cas ou « nous « est considéré comme singulier, c’est le cas du  « nous de majesté » : nous, roi de France, entendons être seul...et celui du « nous de modestie » : comme nous l’avons écrit plus haut, nous avons été intéressé…
(en ces cas, le verbe se conjugue normalement mais les adjectifs sont au singulier.)

 Madame X fait partie de ces* membres qui ont travaillé à lui établir une légitimité nouvelle.

Eh bien non justement, les COI n’ont rien à voir avec la règle de l’accord du participe passé.
Cette règle n’a rien de vague. Toute règle est précise. Il faut la savoir parce que c’est une convention.
D’abord repérer l’auxiliaire : être ou avoir ?
Ici c’est avoir. Il faut donc repérer le COD, s’il y en a un. Or, il n’y en a pas. >> si vous ne savez pas ce qu’est un COD (complément d’objet direct) , il faut l’apprendre.
Dans la mesure où il n’y a pas de COD, aucun accord n’est possible.
—-
« membres » est complément du nom « partie » et ne dépend pas du verbe « travailler ».
Le nom est repris par le pronom « qui », sujet du verbe « travailler »
—-
Allez voir sur Internet : la règle du participe passé est très facile à trouver.
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Ces : déterminant démonstratif >> singulier « ce » (masculin) – « cette » (féminin >>madame X est ce membre qui a travaillé…
Ses : déterminant possessif >> singulier « sa/son » 1e personne « ma » ou « mes »  >>faux : ° madame X est mon membre qui a travaillé

Une marionnette à doigt – des marionnettes à doigt
Un seul doigt >>> toujours au singulier
Une marionnette à doigts – des marionnettes à doigts
plusieurs doigts >> toujours au pluriel

A nous lire je mesure combien l’emploi des temps est nuancé, subtil, complexe, pour des personnes dont le français n’est pas la langue maternelle.
Il me semble, dans le cadre de l’apprentissage de notre langue, qu’il faudrait éviter de proposer des phrases hors contexte et élucider au fur et à mesure des lectures, et au cas par cas, le sens des temps.
On pourrait cependant au préalable, en simplifiant, présenter les différences conditionnel présent/futur du passé  et imparfait valeur modale/valeur temporelle.

Adrien a bâti sa fulgurante carrière sur la révélation de scandales et d’affaires. La dernière en date, dans laquelle il met en cause un député, pourrait toutefois lui donner un coup d’arrêt.
>> il y a en effet ambiguïté.
On peut reformuler ainsi mais la phrase demeure bien lourde car trop complexe (deux relatives notamment) :
C’est sur la révélation de scandales et d’affaires qu’Adrien a bâti sa fulgurante carrière à laquelle la dernière qui met en cause un député, pourrait bien  donner un coup d’arrêt.
Je choisirais plutôt :
La fulgurante carrière d’Adrien, qui repose sur la révélation de scandales et d’affaires. pourrait bien, cette fois-ci , avec la mise en cause d’un député, subir un coup d’arrêt.
Ou :
Adrien a bâti sa fulgurante carrière sur la révélation de scandales et d’affaires. La mise en cause d’un député pourrait bien donner un coup d’arrêt à ce brillant parcours/ à ce parcours jusque là sans faute

Remarque : quand on se trouve devant ce genre de problème, c’est à dire une difficulté à s’exprimer clairement, souvent, c’est qu’on cherche à dire trop de choses en une seule phrase. Il faut alors  partager les informations sur plusieurs phrases, chercher des synonymes ou équivalences plutôt que des pronoms et parfois accepter la répétition de certains termes.

Elle espérait pouvoir penser à lui sans revoir la violence et l’injustice de la guerre qu’elles avaient fuie/ fuies.

Le verbe « fuir » est ici transitif. Il a un COD. Le pronom « que » qui reprend, soit « la guerre » >fuie, soit « la violence et l’injustice » > fuies.
Elles avaient fui la guerre > qu’elles avaient fuie
Elle avaient fui la violence et l’injustice (de la guerre) > qu’elles avaient fuies

L’emploi des temps est effectivement complexe en français et je vais essayer de vous répondre le plus clairement possible.
Plusieurs éléments déterminent le choix des temps dans votre exemple.
– la situation dans le temps de l’énonciateur par rapport à ce qu’il énonce
– la modalisation :  par exemple le désir d’atténuation par politesse
– la valeur qu’il donne au présent
a-1) Je voudrais vous demander si je peux venir plus tard demain. On a ici plusieurs marques de politesse dans la principale : la forme indirecte (comparez avec la forme directe : Je peux venir plus tard demain ?) + l’emploi du verbe »vouloir » + le conditionnel utilisé pour ce verbe.
En ce qui concerne le présent du verbe « pouvoir » il se justifie  parce qu’on est dans le discours et que la permission vaudrait immédiatement

a-2) Je voudrais vous demander si je pourrais venir plus tard demain. Pour la principale : même chose – on ajoute un conditionnel dans la subordonnée : une modalisation de plus par politesse ou atténuation de la demande

b-1) Je voulais vous demander si je peux venir plus tard demain.
L’imparfait de la principale peut avoir deux valeurs : une valeur d’atténuation (et on reste dans le présent car alors il n’a pas de valeur temporelle) – une valeur temporelle (hier, je voulais vous demander) – pour la subordonnée au présent, même chose (présent d’actualisation)

b-2) Je voulais vous demander si je pourrais venir plus tard demain. Même chose que précédemment pour la principale  et même chose qu’en a-2 pour la subordonnée

b-3) Je voulais vous demander si je pouvais venir plus tard demain.
Double ambiguïté pour cette phrase : l’imparfait des deux verbes modalisateurs « vouloir » et « pouvoir » peuvent n’avoir qu’une valeur modale (atténuation) mais le premier peut avoir, comme en b-1 et b-2 une valeur temporelle. Dans ce dernier cas,  l’imparfait de « pouvoir » se met en concordance avec le verbe d la principale.

Comme vous le voyez, l’emploi des temps est complexe. Ce qui lève les ambiguïtés sur l’imparfait, ce ne peut être que le contexte.
Permettez-moi de vous exprimer mon admiration pour la maîtrise de la langue française dont vous faites preuve.
N’hésitez pas à me poser des questions si vous avez besoin d’éclaircir tel ou tel point de ma réponse;