Rien de spécial : il s’agit d’un verbe pronominal réfléchi  (se percher) dans lequel le participe passé s’accorde avec le sujet.
– Elle s’est sentie mal ;
– Nous nous sommes rapprochés de la voiture ;
– Elles se sont émues de cette situation ;
– Ils se sont absentés pour une heure.

Pactiser est un verbe intransitif, qui se conjugue donc sans accord du participe passé : Ils ont pactisé avec l’ennemi.

Dans ce cas, « un » est un adjectif numéral qui s’accorde avec « numéro » qui est masculin.
Donc : La Symphonie numéro un.

N.B.  Conformément à la typographie des œuvres, musicales en l’occurrence, on :
– écrit en italique (sauf l’article qui n’appartient pas à l’œuvre) ;
– met une majuscule au premier nom ;
– abrège numéro en n° (lettre « o » en exposant, si possible) ;
– numérote en chiffres arabes.
Au total, la typographie orthodoxe est : « J’ai écouté la Symphonie n° 1. »

Vous pouvez consulter avec intérêt l’explication du Projet Voltaire sur ce sujet :
Accord après plusieurs déterminants

Essayez de l’appliquer à votre phrase, peut-être en changeant certains mots (verbe actif où l’on entend le pluriel) pour vous faire une idée.

Enfin, une phrase de Balzac servant de référence classique pour cette question : « Ta pension de retraite, et le peu que j’ai en mon nom, nous suffira. » (La Cousine Bette ). Les virgules de l’incise jouent un rôle déterminant : sans elles, l’accord se ferait sans conteste au pluriel.

Votre faire-part serait mieux rédigé sous la forme : Cendrine et Gérard vous invitent à  partager leur  27e anniversaire  de mariage.
C’est plutôt l’anniversaire que les 27 ans que les invités vont partager…

Je n’ai pas trouvé trace de « parlé » comme substantif. Seul « parler » existe en tant que terme de linguistique (un parler régional, populaire, rural par exemple).

Votre exemple est un peu surprenant et semble relever d’un parler approximatif. Il faut rédiger autrement : On écoute ceux qui sont « pour » ou ceux qui soutiennent cette position.

Au total, cela nous fait :
– une belle jambe de bois ;
– des réponses en tiède massif.
On exulte…

Les mécanismes d’antonomase et d‘éponymie par lesquels un nom propre devient un nom commun sont source de nombreuses divergences. Au fil du temps, ces mots perdent leur sens d’origine et, après un certain purgatoire (c’est là que se logent les divergences), ils se voient totalement lexicalisé.

Il est rarement fautif d’interchanger majuscule et minuscule, mais le mieux reste de rechercher l’origine de l’expression et de faire un choix personnellement assumé.
Cela étant, le choix fait, on doit rester cohérent avec les règles générales si l’on décide d’adopter le nom commun :
– suppression de la majuscule ;
– utilisation du mot francisé si variante avec un mot d’origine étrangère (exemple : certaines graphies du mot russe Berezina sont sans accent) ;
– marque du pluriel ;
– respect de règles diverses : cf. le gentilé d’Arlésienne.

À cette aune, voici comment j’écrirais, pour ma part, les différentes expressions soumises :

• C’est une/la bérézina : minuscule, car la référence à la bataille de la Bérézina  s’est bien perdue. Mot totalement lexicalisé.
• Jouer l’Arlésienne : Là, on conserve la majuscule car le mot reste un gentilé qui prend toujours la majuscule.
• Vieux comme Mathusalem : on compare à Mathusalem, qui reste un nom propre, donc majuscule. En revanche, un mathusalem est une bouteille de 6 Litres de capacité.
• Nettoyer les écuries d’Augias : expression composée dans laquelle Augias reste nom propre.
• Jouer les cassandres : mot totalement lexicalisé.
• Aller au diable Vauvert : plutôt avec majuscule car il s’agit d’une expression à deux mots. Mais la minuscule est courante aussi.

N.B. : J’anime sur Twitter une rubrique #éponyme qui illustre des origines amusantes de ce type. Bienvenue sur le compte @Chambaron13 !

Un pronominal réfléchi (se préparer), un transitif direct (contacter quelqu’un) ou même un transitif indirect (donner à quelqu’un) suivent le même règle : forme impérative + trait d’union + pronom.
– Donnez-nous notre pain de ce jour…
– Préparez-vous  pour le dernier jour !
– Contactez-les avant la fin du monde !
– Aide-toi, le ciel peut-être t’aidera !
– Accordons-nous un sursis…
– Donne-lui un dernier exemple.

Source : moi

La question du trait d’union entre deux substantifs concerne des centaines de mots et fait l’objet d’évolutions parfois chaotiques, voire contradictoires entre dictionnaires.

Je préconise donc de se fixer une règle afin de rester constant et logique dans ses choix . En ce qui me concerne, j’ai choisi la suivante :
– Si les deux noms désignent chacun pleinement une partie de l’objet, alors trait d’union : une canne-épée est également à la fois une canne ET une épée.
– Si l’un des termes est plutôt qualificatif de l’autre, alors pas de trait d’union : dans l’amour passion , le mot passion précise la qualité de l’amour.
Cela permet de gérer de nombreux cas, mais pas la totalité : il y a les expressions définitivement fixées (centre-ville, bien que centre précise ville) et celles où l’interprétation est délicate car contextuelle.

Pour le mot « pilote » (qui ne peut être adjectif), appliqué à des noms comme projet, ferme, usine, classe ou école, il peut être considéré en général, à mon sens, comme les complétant . J’écrirais donc plutôt : c’est l’un des projets pilotes de l’entreprise . Mais si l’on souhaite souligner la spécificité du côté expérimental, on pourra raisonnablement écrire : La société X va construire une usine-pilote pour produire des traits d’union de dernière génération. Dans ce cas, on construit un pilote (prototype) sous forme d’usine (et non de laboratoire par exemple). C’est là que se loge la nuance.