1. Appellation
Il est très fréquent que des courriers dits « circulaires » soient libellés à l’attention, non de la personne même à qui ils sont adressés, mais de leur statut vis-à-vis de l’émetteur. Cela permet de clairement identifier le rôle visé par l’objet dudit courrier et lui ôte tout caractère personnel.
Quelques exemples courants :
— Un journal : Cher abonné ;
— Une association : Cher adhérent ;
— Un club : Cher membre ;
— Une société : Cher client, cher fournisseur ou cher actionnaire selon la nature du message.
À noter que le « cher » traduit la connaissance minimale existant déjà entre les correspondants.

2. Nombre
Choix selon le contexte : le pluriel renvoie plutôt au collectif (par exemple la simple diffusion d’une information), le singulier à une demande individuelle (vote, renouvellement d’une adhésion, etc.). C’est  flexible, mais il faut choisir.

3. Genre
Cela dépend de votre philosophie vis-à-vis de la « féminisation » des titres et des fonctions, sujet inépuisable. Libre à vous d’introduire une cabriole typographique (parenthèse, point) pour être sûr que tout le monde se sentira bien concerné et que vous n’encourrez pas les foudres du HCE/fh. N’appartenant pas à cette chapelle, je ne vous y pousserai pas…

En résumé, pour vous adresser à tout ce petit monde vivant sous le même toit — on se croirait chez G. Perec* —, je vous conseillerais modestement un « Chers occupants, » ou mieux « Chers occupants du xx, rue de xxx, »  qui, à défaut d’être parfait, a le mérite d’être simple et compréhensible.

* Voir La Vie mode d’emploi.

Peut-être parce que le sujet réel, Graceland , a été considéré, en tant que toponyme étranger, comme neutre (dit masculin). « Sa demeure » n’est qu’une apposition entre virgules, ce qui n’entraîne  pas l’accord.
En version française :
— « Après la mort de Mongénéral, La Boisserie, son manoir, est devenue un lieu de pèlerinage pour les hommes politiques. » (accord avec le toponyme indéniablement féminin) ;
— « Après la mort de Mongénéral, son manoir, La Boisserie, est devenu un lieu de pèlerinage pour les hommes politiques. » (accord avec le substantif masculin)

P.-S. Exemple 1 retouché pour tenir compte du premier commentaire de Jean Bordes. Par ailleurs, je précise que les toponymes français ont un genre souvent flottant : « Paris brûle-t-il ? » ou « Paris, reine de la nuit » ?

Pour tenter de réconcilier des positions apparemment divergentes, on peut englober les différentes réponses sous une autre formulation des règles déjà énoncées :
 — Valeur absolue : « En France, on aime le Midi. »
 — Valeur relative : « On aime le midi de la France ».
Ou
 — Valeur absolue : « La conquête de l’Ouest. »
 — Valeur relative : « La conquête de l’ouest de l’Amérique par les colons. »
Ou
— Valeur absolue : « Le pôle Nord »
— Valeur relative : « Le pôle nord de la planète »
On peut même, à l’extrême, trouver les deux dans une seule phrase : « Le climat du Midi est plus agréable que celui du nord de la France .» Le contexte joue donc beaucoup.

Cela recoupe les différents cas énoncés par différentes sources, mais de manière plus fiable pour les cas litigieux. On retrouve cette constante dans d’autres domaines :
* Histoire
 — Valeur absolue : « La Restauration »
 — Valeur relative : « La restauration de la monarchie en 1815. »
* Titres et appellations
— Valeur absolue : « Messieurs… Le Roi ! »
— Valeur relative : « Messieurs… Le roi de France ! »
* Organes publics :
— Valeur absolue : « Le Ministère en a décidé ainsi. »
— Valeur relative : « Le ministère de la Défense en a décidé ainsi. »
 On pourrait multiplier les exemples…

En tout cas, c’est mon critère de longue date, et il ne m’a jamais fait défaut…

Le jeu des italiques, des guillemets et des capitales peut s’avérer subtil selon les circonstances. Attention notamment à la nuance entre titre d’œuvre et celui de l’article ou extrait de ladite œuvre…

Vous trouverez de belles illustrations dans  Orthotypographie, qui met par ailleurs en relief les différences entre les divers codes.

Pour votre exemple, l’italique s’impose à mon sens sans conteste : une exposition est assimilable à une œuvre.

Comment voulez-vous l’écrire autrement, et pour quelles raisons  ?

Pour répondre à la question de base de l’examen, l’adjectif « rouges » est attribut de « mains » et s’accorde avec lui puisqu’on utilise l’auxiliaire « être ».

Formule typiquement mathématique.

Il s’agit là de la 3e personne du subjonctif présent, exprimant une forme d’impératif impersonnel : « Que soit […] ! », ainsi que l’on écrit le célèbre et divin « Fiat Lux  ! ». Grammaticalement, le verbe devrait donc s’accorder avec le sujet : « Que viennent les orages bienfaisants ! »

Mais, avec son grand talent de démiurge, la mathématique réinvente le monde : à coups d’hypothèses, d’axiomes et de postulats, elle pose ses lois avant même de discuter. Le singulier reflète cette transgression des règles de la conjugaison.  On peut mettre mille sujets derrière, elle décrète en priorité : « Que mon monde soit ! »

À ce niveau, ce n’est plus de l’orthographe, c’est de la… métaphysique.

« Organisation des Nations unies » est l’appellation règlementaire.
Le terme tronqué « Nations Unies » est courant, mais peu conforme au respect de l’identité  ou aux codes typographiques.
« Nations-Unies » est clairement fautif.

Abréviations normalisées :
O.N.U. : sigle épelé et prononcé « Eau Haine Hue ».
ONU (Onu) : acronyme prononcé « Aunu ».
UNO : sigle anglophone, sans points abréviatifs (terme étranger).

Malheureusement, les citations circulent souvent tronquées.
Cet extrait d’un entretien de Michel Tournier (†2016) avec le philosophe  Philippe Didion en Janvier 2013 comprend la réponse à votre question dans sa seconde partie : « Les amis d’enfance ont un défaut, c’est celui d’avoir votre âge. Alors les uns ne voient plus personne et les autres meurent. Mais il en reste quelques-uns. »
À 89 ans, il était fondé à jeter ce regard amer et sans concession sur les copains d’enfance, sur lesquels il était interrogé, pour leur préférer les amitiés nouées plus tardivement mais plus disponibles.

Défaut s’entend ici au sens propre de « manque » et ne comporte aucune connotation d’appréciation.

Dans cette tournure, « fin » est un adjectif  employé adverbialement, signifiant « complètement », « totalement ».
Dans son cas, Grevisse confirme l’invariabilité, mais ce n’a pas toujours été le cas et il arrive de trouver « fins prêts » ou « fine prête » dans des textes pas si anciens (plusieurs exemples au XXe siècle).

À mon sens, le cas est le même que les classiques « grand, bon, frais, large » (et quelques autres controversés) pour qui l’accord se fait, même en position d’adverbe : Ils sont arrivés bons premiers ».

Au total, privilégiez le singulier, mais le pluriel ne peut être sanctionné comme une faute.

Les sociétés ont un genre et il est fréquemment féminin : entreprise, firme, compagnie, maison, affaire et… boîte. Cela étant, elle ne sont pas « sexuées » pour autant et l’on peut sans problème en parler comme des neutres (dit masculin). Mais le « féminin » est tout à fait correct. Au choix !