Avec le sens de « faire une erreur », le verbe se tromper est un verbe essentiellement pronominal (dit aussi autonome) sans rapport direct avec le verbe transitif ou réfléchi tromper (mentir, faire croire).
Il n’y a donc pas de COD et le pronom se n’a pas de fonction grammaticale (il fait partie intégrante du verbe). Comparez par exemple avec s’occuper ou se servir qui sont aussi transitifs à la forme non pronominale.
Pour tous ces verbes, le participe s’accorde avec le sujet : « Elle s’est trompée d’appartement. »

Responsable étant un nom épicène (masculin ou féminin), vous accordez l’adjectif en fonction du sexe de la personne concernée.
Le masculin générique peut se concevoir pour caractériser le poste lui-même avec le risque éventuel d’être sermonné(e) par ceux qui veulent faire figurer une différenciation systématique pour tout…

L’accord se fait ici avec le sujet de la subordonnée qui est personne et non avec le reste de la phrase.
Exemple au pluriel :  « En tant que personnes qui apprennent le français, nous pouvons (vous pouvez, ils peuvent) certainement comprendre…. »

Les documents dits de référence regorgent d’anomalies et d’incohérences mais cela plait à beaucoup de personnes qui vantent les « charmes » de cet état de fait.
Bref, pour soutien-gorge, c’est un nom composé de deux autres noms (dont un soutien et non le verbe soutenir) et la logique affirmée par l’Académie en 1990 est de mettre les deux au pluriel si le nom composé est lui-même au pluriel.
Donc des soutiens-gorges si l’on applique ce qu’on appelle une règle. Il est à noter qu’on ne tient plus compte dans ce cas des discussions sur le fait que le second nom puisse rester au singulier par son sens (des soutiens pour la gorge). Le fait de devenir un nom composé (avec trait d’union) dispense de cette incertitude ce qui simplifie des dizaines d’accords à problème.

Oui, c’est correct dans les deux cas., même si le second est préférable (cf. « la religion catholique et son milliard de croyants ») .
En français (pas en anglais) les noms cent (centaine), millier, million et milliard ne se mettent au pluriel qu’à partir de deux (2).  Peu importe qu’ils soient précédés d’un déterminant au pluriel qui ne concerne alors que le nom qui les suit.
NB C’est une forme d’accord dit « par syllepse », selon le sens et l’intention de marquer plutôt le nombre ou son complément.

Vos craintes sont justifiées : le pronom relatif dont contient en effet la préposition de et ne doit pas s’y ajouter.
« Je me soigne de la même façon que je me suis soigné précédemment, avec des antibiotiques. »

Cela signifie sans doute : « Elle est en bons termes avec toute la gent masculine qui  porte un uniforme. »
Pas nécessaire de marquer le pluriel, même si c’est possible grammaticalement (principe du « singulier générique »).

La prononciation de ce mot emprunté en l’état au latin fait effectivement débat.
On trouve selon les sources aussi bien  \ɛ̃.si.pit\ que \iŋ.ki.pit\, l’Académie (via le TLF) retenant la première.
La difficulté vient du fait que le mot est de la famille de capio (prendre) que l’on trouve dérivé dans les deux versions : capable, capter, capture avec le son \k \ mais aussi accepter, forceps ou anticiper avec le son \s\, en tout cas toujours devant un i. 
L’anglais prononce aussi avec le son \s\ qui semble donc finalement être la prononciation la plus pertinente.

La question mérite d’être avancée car elle se pose avec tous les prix et cette métonymie (pour le lauréat du prix) se retrouve dans tous les médias.
À mon sens, il n’y a pas lieu d’user d’une cap : sous quel prétexte le ferait-on ? La majuscule a pour vocation de mettre en relief une valeur absolue univoque (un nom = une personne bien identifiée) ce qui n’est pas le cas puisqu’il existe simultanément dans la nature plusieurs « prix Nobel » au titre de disciplines et d’années différentes.

D’une manière générale, le régime des prépositions est affaire d’usage et il n’est pas rare de trouver plusieurs versions. C’est le cas ici et « en » et « dans le » s’utilisent indifféremment sur le plan grammatical.
À l’écrit, si l’on en croit l’étude de fréquence Ngram, « en Dauphiné » semble même plus fréquent et cela depuis bien longtemps.