je  t’  en  remercie = je remercie toi de cela
Vous avez parfaitement raison : « te » est COD et « en » est COI (ou second).
« En » pronom n’est COD que lorsqu’il est partitif : Tu en veux de cette blanquette ?

Sinon, il est  COI ou complément de lieu. Il correspond aux emplois de la préposition de en tant que morphème introducteur de complément. (ou à un de ses équivalents : à, sur (TLF)

Je leur au envoyé les sous.
Auxiliaire avoir –> accord avec le COD seulement s’il est placé avant le verbe
Il est placé après : les sous est COD
Leur est un pronom COI  (= à eux) et n’entre pas en ligne de compte

Les BD, elles sont plus sympas que les romans : la phrase reste correcte, même si on attendait un pronom neutre pour la reprise du sujet. Familière, à cause de la reprise du sujet et le mot « sympas », mais grammaticale.

Les BD, ce sont plus sympas que les romans : erreur  ce sujet étant neutre demande un verbe au singulier 3e personne.
La meilleure formulation serait  : Les BD, c’est plus sympa que les romans.

il n’a pas trouvé mieux que de l’avertir – il n’a pas trouvé mieux que l’avertir
C’est le « de » qui est facultatif, pas le « que ».
Le que est nécessaire parce qu’il y a comparaison.  Le premier terme de la comparaison est ici sous-entendu :i l n’a pas trouvé à faire mieux que de l’avertir.

L’adverbe « mieux » seul serait là pour modifier un verbe et se place avant ou après lui. : il aurait dû mieux l’avertir/ le soigner mieux/ mieux l’interroger/ le regarder mieux

Le verbe « déglutir » est transitif. Il arrive seulement qu’il soit utilisé en une valeur absolue : il déglutit péniblement.

Le TLF  donne un exemple où il a un COD : Quasi-)synonyme avaler, ingurgiter.
La couleuvre (…) déglutissait laborieusement sa proie, les mâchoires horriblement dilatées (Pergaud),

Le Robert est peut-être plus utile :

Définition de sexe-symbole ​​​

nom masculin

. Des sex-symbols.
Les italiques ne sont donc pas nécessaires puisque le terme est intégré au vocabulaire français.
Pourquoi ne pas utiliser la version tout à fait francisée qui passe très bien. Ces personnes sont des sexe-symboles ?

Leurs beautés mathématique et philosophique.
Les deux adjectifs sont à mettre au singulier en effet. On peut même se poser la question pour « leurs beautés » ou « leur beauté » : y a-t-il plusieurs beautés de chaque sorte / Si oui, on laisse au pluriel, si non, le singulier convient.

Votre nom est   un nom propre, il commence par une lettre

Leur naissance était nécessaire.
Ils préfèrent oublier une partie de leur vie.
Il s’agit d’une naissance, d’une vie pour chacun.
Au singulier :
sa naissance était nécessaire – il préfère oublier une partie de sa vie
—
Comparez :
Pierre est allé en Inde, Jean en Espagne, Jules en Chine : leur voyage était nécessaire
Pierre est allés plusieurs fois en Inde, Jules deux fois en Chine :  leurs voyages étaient nécessaires

Il ne trouvait aucune réponse qui pût le satisfaire.
Le choix de l’imparfait du subjonctif est correct, la phrase étant au passé.
Avec une phrase au présent:
Il ne trouve aucune réponse qui puisse le satisfaire.
Le verbe de la subordonnée est au subjonctif présent.

Remarque : le subjonctif imparfait est très peu employé de nos jours, même à l’écrit, c’est pourquoi on accepte le subjonctif présent dans une phrase au passé (Il ne trouvait aucune réponse qui puisse le satisfaire n’est donc pas considéré comme erroné).