Les autorités sportives permettrait aux athlètes russes de participer aux compétions tant qu’ils n’ont aucun lien avec la guerre.
Les autorités sportives permettrait aux athlètes russes de participer aux compétions aussi longtemps qu’ils n’ont aucun lien avec la guerre.

Les deux propositions en gras sont subordonnées complément circonstanciel de temps. C’est l’indicatif qui est le temps correct ici, (et dans d’autres cas, le conditionnel est aussi possible, selon le sens).
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Les autorités sportives permettrait aux athlètes russes de participer aux compétions à condition qu’ils n’aient aucun lien avec la guerre.
Cette fois-ci la proposition en gras est subordonnée complément circonstanciel de condition : le temps correct est le subjonctif puisque le fait est considéré comme une idée et pas un fait.

Ne confondez pas
– leur/leurs : déterminant possessif qui porte la marque du singulier ou du pluriel du possédé
Il fonctionne comme mon ou ma /mes – ton ou ta / tes – son ou sa / ses – notre /nos – votre /vos

– leur pronom, invariable puisqu’il est pronom 3e personne du pluriel – ce pronom change à chaque personne :
Elle leur parle / elle lui parle /elle me parle / elle te parle / elle nous parle / elle vous parle

Le plat que j’ai mangé,  c’était des pâtes.
Pourquoi utiliser le singulier ? Simplement parce que le sujet « ce », reprend « le plat » et non « les pâtes ».
« Pâtes » est attribut du sujet « ce » et non le sujet du verbe être.

Et :
Les pâtes que j’ai mangées, c’étaient un plat délicieux

Le paiement des taxes, droits et autres redevances légalement dus est à jour.

Ce sont bien les droits qui sont dus, au même titre que les taxes et redevances.
En français le neutre est exprimé par le masculin.
La position du participe passé au masculin juste après un nom féminin ne pose pas de problème.

Il maintenait mon amie dans le coma depuis notre retour, il y a près d’un an.
Cette phrase se comprend ainsi :
il y a aujourd’hui près d’un an, il maintenait mon amie dans le comas depuis notre retour.

Il maintenait mon amie dans le coma depuis notre retour, il y avait près d’un an.
Cette phrase se comprend ainsi :
il y avait alors/à cette époque,  près d’un an qu’il maintenait mon amie dans le comas depuis notre retour

Je vous demanderai de bien vouloir contacter xxxx dans un délai de xxx jours afin de régulariser cette situation
Futur : si on change de personne, le futur est évident : Il vous  demandera de bien vouloir contacter xxxx dans un délai de xxx jours afin de régulariser cette situation.

En l’absence de régularisation, je me verrais dans l’obligation de  xxxx
Conditionnel de politesse et pour signifier une possibilité.
Changement de personne : En l’absence de régularisation, il se verrait dans l’obligation de  xxxx 

Voici les robes. Les bleu ciel sont ici, la bleu foncé est là, et les vert olive sont là-bas.
Correct.
Bleu ciel est un nom « bleu » + son complément du nom « ciel ».  Bleu foncé : nom « bleu » est son adjectif « foncé ».
Les vert olive :  un nom « vert et son complément du nom « olive »

Les bleu ciel et les bleu foncé sont mis pour les robes (d’un) bleu ciel, (d’un)  bleu foncé, les robes (d’un) vert olive.

Quelle part du chiffre d’affaires représentent les livraisons?
Il n’y a qu’un sujet : « les livraisons ». Il est placé après le verbe comme souvent dans les phrases interrogatives.
« Part du chiffre d’affaire » est l’attribut de ce sujet.

Seul est correct : un rouleau de bambou
Le singulier donne ici  à bambou le sens d’une matière. >> un rouleau en bambou
un rouleau de/en papier  – un rouleau de/en cuivre – un rouleau en/d’écorce …

Elle et lui sont partis  ou  Ils sont partis : quelle est la différence ?
En français le pronom pour remplacer un sujet composé de élément féminin + d’un élément masculin est le pronom personnel « ils » masculin pluriel à valeur de neutre pluriel.
– « ils » peut représenter de 2 à X individus : on peut avoir envie de préciser qu’il s’agit de deux personnes seulement > elle et lui
– Les pronoms toniques ont plus de relief précisément et l’objectif, en les choisissant peut être d’insister sur les sujets
– il peut y avoir d’autres raisons : par exemple, exclure implicitement d’autres personnes. Par exemple : non, tout le monde n’est pas parti : elle et lui sont partis