Celui qui croit qu’autre que la voie du vieux est plus parfait que sa voie
L’emploi de « autre » est ici incorrect. En tant que pronom (il st sujet du verbe être, il doit avoir un déterminant : un autre, cet autre, l’autre…)
« Parfait » est absolu : on n’est pas plus ou moins parfait, on est parfait ou on ne l’est pas
Répétition du mot « voie »
La phrase entière est à reformuler :

Celui qui croit qu’une autre voie que celle du vieux est meilleure.

Si cependant j’ai bien compris le sens de votre phrase.

La plongée en eaux profondes est un spectacle à elle toute seule
On peut simplifier en enlevant « toute » qui n’apporte rien

Vous verrez pet-être mieux à quoi se rapporte « à elle seule » en déplaçant cet élément :
à elle seule, la plongée en eaux profondes est un spectacle
ou en  remplaçant à elle seule par elle-même
La plongée  en eaux profondes  est  elle-même un spectacle,
Remarque :
Le contexte peut très bien nécessiter cette précision (à elle seule – elle-même) Par exemple, la phrase peut être suivie de  : Elle n’a pas besoin de cette mise en scène…etc.

Centre de Médecine et d’Évaluation sportives
L’adjectif s’applique aux deux noms « médecine » et « évaluation » : il faut donc le mettre au pluriel.

Je t’ai vue te défendre
C’est bien « te » qui a été vue : j’ai vu toi (en train d te défendre).
« Te » est bien le COD placé avant le verbe et le participe passé s’accorde avec lui parce qu’il est accompagné de avoir

Leur volonté est de rendre accessibles le gîte et le couvert à tous.
Oui, l’accord de l’adjectif se fait avec les deux COD « le gîte et le couvert » dont il est attribut.
Le verbe « rendre » est un verbe attributif.

As-tu une place pour mon conjoint et moi dans ton véhicule ?
On comprend bien que ce qui est demandé est une place pour chacun. Sinon on aurait : As-tu une place pour mon conjoint ou moi dans ton véhicule ?
Le terme « place » est d’ailleurs assez vague « portion d’espace » et ne désigne pas précisément un siège.

L association nature dans laquelle je suis adhérent a pensé à moi pour cette demande. Que j ai acceptée !
L association nature dont* je suis adhérent a pensé à moi pour cette demande. Que j ai acceptée !
Le COD est « que » féminin singulier puisqu’il a pour antécédent « demande ». L’auxiliaire est avoir, le COD placé devant : accord

*on est adhérent d’une association pas dans une association

dit-il, en effleurant ma joue avec sa main  – dit-il, en m’effleurant la joue avec sa main.
Les deux formulations sont correctes et presque équivalentes.
Il y a toujours une nuance quand les formulations diffèrent légèrement.  Je dirais que le pronom personnel met légèrement plus l’accent sur le contact (sensation).

Nous étions tous étonnés par les questions qu’il a soulevées/suscitées/évoquées.
Il ne s’agit pas de poids ni de mesure ici.  Il a sens de « susciter, évoquer ».

Peut-être que la maison que tu as eu tant de mal à construire a été détruite. 
« Maison » est l’antécédent du pronom relatif « que » lui-même COD de construite pas de « avoir du mal »
Les phrases de base sont :
Peut-être que la maison a été détruite
Tu as eu tant de mal à construire cette maison

avoir du mal n’a pas de COD – le participe passé reste invariable
—-
Je ne changerai/changerais rien à ta personne.
En effet les deux sont correct, mais hors contexte, on ne peut savoir lequel il faut choisir. Le sens diffère selon qu’on emploie le futur, temps du réel, ou le conditionnel, temps de l’irréel.
Exemples
1 Si j’étais toi, je ne changerais rien à ta personne (mais je ne suis pas toi)
2 Je veux tout changer mais rassure-toi, je ne changerai rien à a personne
 à mon avis, vous êtes dans les cas 1, plus probable.
—
Je veux effacer toutes ces pensées qui t’ont jamais blessé
La phrase est bizarre.  On attend : qui ne t’ont jamais blessé mais on s’interroge sur le sens. ou bien : Je veux effacer toutes ces pensées qui t’ont un jour blessé
Mais dans tous les cas le COD est |t’| masculin singulier. Placé avant le verbe, et l’auxiliaire étant avoir l’accord se fait avec lui, seulement on ne le voit pas.