Le dimanche 14 octobre, les Belges iront voter pour élire leur(s) maire(s).
Pour élire les maires ==> pluriel si l’on se place du point de vue global
Pour élire le maire de leur commune (de chaque commune)==> singulier si l’on se place du point de vue de chaque maire.

La référence est ici.

Lorsqu’une préposition, à ou de, est intercalée entre le participe passé et l’infinitif, le participe passé s’accorde en genre et en nombre avec le complément d’objet direct si ce dernier le précède et s’il se rapporte au participe passé et non à l’infinitif.

En pratique, il faut pouvoir intercaler le complément d’objet direct entre le participe passé et l’infinitif.

Ces plantes qu’on lui avait données à arroser. (on lui avait donné ces plantes à arroser)
Ces enfants qu’on a empêchés de jouer. (on a empêché ces enfants de jouer).

Les personnes que j’ai convaincues de me suivre….(j’ai convaincu ces personnes de me suivre)

1. Je dirais… L’excuse le plus (souvent) entendue ou l’excuse la plus entendue si vous comparez des excuses entre elles (pour la deuxième formule).
   Cf. Projet Voltaire : c’est au printemps que Venise est le plus agréable (dans l’absolu) / Venise est la plus agréable des villes. (comparaison).
   2) La vérité est (tout) autre : adverbe supprimable. 
   3) La punition qu’il s’est prise et les mille euros de bénéfices qu’il a admis ou reconnus. Peut-être que bénéfice est plus juste au pluriel… En tout cas, même s’il était au singulier, il faudrait accorder avec les mille euros.

Je me suis donné : sans Cod placé avant
Et c’est le cas de votre phrase puisque le Cod est Mission placé après. Me étant un COI…
En revanche : la mission que je me suis donnée était difficile.
Est-ce clair cette règles des verbes pronominaux réfléchis ?

L’orthographe est correcte.

Vos accords sont bons. AVEC n’est pas bien choisi, on écrit avec un stylo ou sur un traitement de texte….
Autrement dit « des posts écrits avec des records battus… » cela cloche !
– des posts comportant des masses de fautes
– les posts battent des records de fautes d’orthographe (encore ce serait impropre car « battre un record » est unique)
– les posts battent tous les records de fautes d’orthographe

Avec le passé dans la principale, il faut mettre le subjonctif imparfait. Dans votre phrase, la réponse intervient après les actions de répéter, donc pas de plus-que-parfait du subjonctif.
Il  suffit de le dire à une qui le répéta à une autre, qui le répéta à une autre, jusqu’à ce que la dernière répondît  ou réponde : « je sais ! »

nous passâmes des fauteuils au canapé après qu’elle m’a ou qu’elle m’eut obligé à enlever ma veste et (a ou eut)  osé passer sa main… »

Pas de subjonctif avec « après que » ==>Utiliser le passé composé ou le passé antérieur, ce dernier temps étant le plus indiqué avec le passé simple (nous passâmes).
Après la conjonction « et », la répétition de l’auxiliaire n’est pas obligatoire (ils ont mangé et dormi).

Pour une personne, les puristes accordent avec air car seule une personne peut avoir un air.
Pour les objets on accorde avec le sujet : cette commode à l’air cassée. Pour un trait d’humour évidemment vous pourriez personnifier les objets et dire que la commode a une mine peu…. ou un air peu réjoui mais ce n’est pas considéré comme correct, au cas général et hors contexte de personnification.

Je ne dispose que de peu de contexte pour être affirmative…