Bonjour,
A. J’écrirais :  – C’est l’excuse que j’ai le plus entendue. Le plus porte sur le  verbe conjugué « j’ai entendu » et signifie « le plus souvent ».
B. Du point de vue de l’accord du participe, la phrase  La punition qu’il s’est prise l’a remis d’aplomb paraît correcte. Mais du point de vue du langage, « se prendre une punition » est plutôt relâché ! En langage familier, vous pourriez dire à la rigueur : La punition qu’il a prise (au sens de recevoir).  Pourtant, mieux vaudrait écrire : L a punition qu’il a reçue l’a remis d’aplomb.
– Il conteste les 1.000 € de bénéfice mensuel qu’il avait pourtant reconnus précédemment.  Je pense qu’il conteste le montant du bénéficie et non son existence même.
C. http://www.cce.umontreal.ca/capsules/2816.htm– La vérité est tout autre . Il s’agit bien ici de l’adverbe signifiant « complètement ». Mais dans « Toute autre vérité est recevable », tout serait adjectif indéfini, l’expression signifiant alors « n’importe quelle autre ».

1. Je dirais… L’excuse le plus (souvent) entendue ou l’excuse la plus entendue si vous comparez des excuses entre elles (pour la deuxième formule).
   Cf. Projet Voltaire : c’est au printemps que Venise est le plus agréable (dans l’absolu) / Venise est la plus agréable des villes. (comparaison).
   2) La vérité est (tout) autre : adverbe supprimable. 
   3) La punition qu’il s’est prise et les mille euros de bénéfices qu’il a admis ou reconnus. Peut-être que bénéfice est plus juste au pluriel… En tout cas, même s’il était au singulier, il faudrait accorder avec les mille euros.