Pour chaque jour ou demi-journée télétravaillé … 
Il faut accorder au masculin quand il y a les deux.
Solution de remplacement :
Pour chaque journée ou demi-journée télétravaillée …

Un coin jeux :  un coin où il y a des jeux (en principe c’est le cas ! )
Un coin jeu : un coin pour jouer … où l’on apporte ses propres jeux…c’est plus rare.

Après deux points, on met la majuscule aux noms propres et au début de phrase, ce qui n’est pas le cas de votre exemple.

Touche d’humour matinal (c’est l’humour qui est matinal).
Je ne sais pas ce que vous voulez privilégier comme sens : touche matinale (ce qui n’a pas bcp de sens pour moi)  ou humour matinal (ce que je saisis mieux).

C’est une petite fleur bleue d’une telle délicatesse qu’il serait bienvenu de la chanter.

Bienvenu est bien accordé.

Lassés des prestations du PSG depuis plusieurs semaines, les dirigeants parisiens souhaiteraient convaincre Zinedine Zidane de prendre les rênes de l’équipe avant le choc face au Real Madrid en Ligue des champions.
On ’écrit Lassés avec un S en accord avec les dirigeants.
vous avez raison.

Gage : Ce que l’on met entre les mains de quelqu’un pour sûreté d’une dette. Prêter sur gages. Mettre, laisser en gage. Laisser pour gage. Retirer un gage. Donner des gages. Prendre des gages, un gage.
Expression :
Il n’a pas encore remboursé, mais il a donné des gages de son honnêteté (exprime le fait qu’il va nous rembourser bientôt, on peut être tranquille ; ici gages correspond à une sûreté). 

Actuellement, nous entrons dans une campagne électorale sur fond de crise sanitaire. 
Le sujet est l’élection présidentielle, et la crise sanitaire est toujours présente (à l’arrière-plan puisque l’urgence politique est l’élection).

Il a échoué, ce n’est pas faute d’avoir essayé.
Il a échoué bien qu’il ait tout tenté pour y parvenir.

Le cancer peut être traité aussi (traitement du cancer).
Donc, si vous voulez lever l’équivoque,
Monsieur Martin est le médecin en charge de la première patiente traitée par cette nouvelle thérapie. Elle était atteinte d’un cancer du poumon.