S’il n’a pas été précédemment fait mention de cette maison (genre Guillaume et sa femme ont acheté une maison de campagne l’été dernier. La bâtisse étant en fort mauvais état de nombreux travaux restent à faire, c’est ainsi que profitant de quelques vacances, avec sa femme, Guillaume s’affaire autour de leur maison), je pense qu’en toute logique grammaticale, il faudrait accorder avec le sujet, comme il est singulier on devrait donc avoir sa maison. Néanmoins, et particulièrement avec un détachement à gauche, je pense que l’accord sylleptique – donc avec les deux possesseurs – est acceptable, voire plus satisfaisant (intuitivo-cognitivement) que l’accord avec un seul possesseur ; avec un détachement à droite, ça me parait moins évident (i.e. l’accord grammatical me parait bien meilleur que celui sylleptique) :
Guillaume s’affaire autour de sa maison, avec sa femme.
Guillaume s’affaire autour de leur maison, avec sa femme.

(La réponse tient tout de même beaucoup au contexte, avec un bout de phrase hors de contexte, c’est difficile de donner une réponse catégorique.)

C’est un cas classique et bien documenté (par exemple ici ou encore là) : la non répétition du déterminant est possible si les substantifs coordonnés forment un tout. On peut en effet considérer que collèges et universités forment le tout « établissements d’enseignement », donc Tous les collèges et universités (évidemment rien n’interdit la répétition du déterminant).

Un peu étrange ce paragraphe. M’ame Abeillé que j’apprécie beaucoup me semble en l’espèce avoir un peu perdu de son habituelle raison :
déjà, le paragraphe qui débute par « quand plusieurs adjectifs relationnels se suivent » serait censé ne considérer que ce cas, or 1/3 des cas évoqués n’y correspondent pas puisqu’il s’agit d’adjectifs relationnels associés non à des relationnels mais à des qualificatifs !
Ensuite, si on met de côté cette incohérence, aucune explication n’est donnée qui viendrait justifier cette souplesse dans l’ordre des adjectifs, or comme l’a souligné Tara, les adjectifs relationnels ont pour propriété de fonder des catégories : une voiture présidentielle = une voiture du type présidentiel vs une voiture personnelle, une voiture d’entreprise, etc. Auquel cas, le substantif et l’adjectif relationnel forment en effet un tout qui permet de désigner un type de référent et il parait dès lors difficile de les séparer : une voiture rouge présidentielle / Une résidence somptueuse royale, etc.

Le problème, c’est que les adjectifs ethniques sont des relationnels d’un type particulier qui ne fondent pas (obligatoirement) des catégories. Ainsi, peut-on vraiment dire qu’un citoyen français est un type de citoyen ? C’est assez limite. De fait, si on peut facilement dire : Quel type de couscous tu préfères : le couscous brochettes, le couscous merguez, le couscous royal ? On dira difficilement : Quel type de citoyen est-il / à quel type de citoyen appartient-il : citoyen français, citoyen américain, etc ?
Je ne suis pas certain que cela suffise à permettre au qualificatif de précéder l’ethnique, ça doit dépendre des cas, en toute subjectivité le deuxième me parait plus acceptable que le premier (possiblement parce que citoyen + français forme un lien plus fort que entreprise + française) :
Bidochon, un citoyen français beauf / ?? un citoyen beauf français.
Lejaby, une entreprise française défaillante / ? une entreprise défaillante française.

Par ailleurs, pour en revenir à notre américaine de voiture, dans ce cas l’ethnique, qui bien sûr désigne l’origine de la voiture, n’est pas loin de fonder une catégorie : ce qui importe c’est moins l’origine de production du véhicule que les propriétés qu’on leur attribue :
Je préfère les voitures allemandes aux chinoises, elles sont tellement plus fiables !
= je préfère les voitures du type allemand / américain / japonais, etc.

Et donc, si catégorie il y a, l’antéposition du qualificatif me parait litigieuse.

Cependant, si on accepte cette antéposition, alors les adjectifs ne sont plus tous les deux épithètes, seul l’est le qualificatif, le relationnel devient attribut, et la prosodie change : tonalité descendante + pause à la fin du groupe rythmique formé par déterminant + voiture rouge. Sans antéposition, le groupe rythmique est déterminant + voiture américaine rouge.

Sentir quelqu’un + adjectif (attribut du COD) = percevoir quelqu’un de telle façon.
Se sentir + adjectif = se percevoir de telle façon.

À un moment donné, il l’a senti(e) déprimée et pourtant elle, elle ne s’est jamais senti(e) déprimée.

Donc la forme pronominale n’est pas autonome, et le pronom réfléchi y a la fonction de COD, dès lors, votre prof a en partie raison, puisque dans le cas où le participe passé est suivi d’un attribut du COD, il est possible de le laisser invarié, cependant l’accord est préconisé.

(Je ne pense pas que la raison extra-linguistique qui fait que la trahison un sentiment très interne (on peut difficilement dire Il l’a sentie trahie), rende le verbe autonome et empêche d’analyser le pronom réfléchi.)

Enseigner quelqu’un > Enseigner les élèves est une construction qui a existé, mais qui n’est plus usitée*.
Dans la tournure employée à présent, c’est ce qui est enseigné qui est COD, le destinataire de l’enseignement étant COI : Enseigner quelque chose à quelqu’un.

* Cette tournure existe  avec un verbe synonyme toujours usité :  instruire > Instruire quelqu’un.

Premiers au pluriel, janvier au singulier > Tous les premiers (jours du mois de) janvier = Tous les 1ers janvier.

Le COD du verbe accepter est ma proposition de télétravail, il est placé après l’auxiliaire, par conséquent il n’y a pas d’accord.
Placé avant = accord : Je remercie l’équipe de l’avoir acceptée – avec l’ mis pour ma proposition de télétravail.

Il faut vraiment un contexte plus large pour pouvoir décider, mais ce qui est certain, c’est que le plus-que-parfait n’est pas obligatoirement le temps de l’antériorité par rapport à un autre passé * :
Paul vient de démissionner, il avait pris ses fonctions il y a trois jours / hier / ce matin
est très correct, très usité, et peut-être même meilleur que le PC :
Paul vient de démissionner, il a pris ses fonctions il y a trois jours / hier / ce matin
en tout cas, il produit un effet que ce dernier temps n’est pas capable de rendre. Là où le PC donne un énoncé plat, factuel, le PqP introduit quelque chose de l’ordre de l’opposition voire de la concession, d’une discordance entre ce qui est attendu et ce qui se produit.

Pour votre première question, un exemple où les deux accords sont possibles, selon l’interprétation :

contraste
C’est la soupe que j’ai pris (et non la salade) = ce que j’ai pris, c’est la soupe et non pas la salade / j’ai pris cela, la soupe (et pas la salade) ; où on voit que le pronom que est mis pour ce/cela qui est singulier neutre ; par conséquent, le participe reste au « neutre » = masculin (+ singulier).

présentatif
C’est la soupe que j’ai prise = voici la soupe que j’ai prise ; ici a contrario que est mis pour la soupe, par conséquent le participe s’accorde en genre et en nombre, dans le cas présent, au féminin singulier.

Pour votre phrase, il me semble que seule l’interprétation « contraste » est possible, dès lors, le participe reste au masculin singulier : Ce sont des fraises que j’ai mangé (et non des prunes).

Pour votre deuxième question, Des fraises, j’en ai mangé, en mis pour fraises est COD, dans ce cas, les deux accords sont possibles (même si l’invariabilité est préconisée par les puristes et possiblement la plus fréquente dans l’usage) :(source)

Ici, le verbe aimer n’a qu’un rôle de modalisation (demande polie), la phrase est donc en réalité dépourvue de verbe, il faudrait en principe effectivement en mettre un :
J’aimerais avoir votre avis / connaître votre avis / que vous me donniez votre avis / etc.

Néanmoins, il existe des phrases averbales, et dans la mesure où un énoncé (averbal) du type Et vous, votre avis ?   (où le verbe est sous-entendu : quel est / je vous demande quel est / j’aimerais avoir / j’aimerais connaitre / donnez-moi, etc.) est acceptable et accepté, la tournure : J’aimerais votre avis l’est à mon avis également puisque la forme aimer + conditionnel signifie la demande de qq chose, ce qq chose est ici l’avis, l’énoncé – même s’il est elliptique – est facilement compréhensible, d’ailleurs on peut constater que la formule est facilement trouvable donc bien usitée.

(Cela dit, si vous souhaitez un registre soutenu, il faut exprimer un verbe.)

Merci et joyeuses fêtes également ! 🙂