Leur est un déterminant singulier, vous avez d’ailleurs fort logiquement mis voiture au singulier, si le sujet est singulier, alors le verbe l’est également, donc :
Leur voiture se gare.
Ce singulier peut signifier deux choses :
– soit une voiture est possédée par plusieurs personnes ;
– soit plusieurs personnes possèdent chacune une voiture.
Dans ce dernier cas, vous avez le choix entre :
– le singulier > leur voiture se gare (vision distributive = la voiture de chaque personne) ;
– Le pluriel > leurs voitures se garent (vision collective = les voitures considérées dans leur ensemble).

Comme dit dans les interventions précédentes, demeurer n’est pas ici attributif, mais ce qui suit n’est pas un complément circonstanciel (de lieu), c’est un complément essentiel (de lieu) : le verbe demeurer exige effet un complément, on ne peut dire « il demeure ».

Si vous suivez le Tlfi, Larousse, Robert ou encore Usito, vous ne mettrez pas de majuscule quand homme a cette acception. L’Académie dans sa 9e édition introduit une nuance à mon avis potentiellement casse-gueule. Elle précise que dans le domaine scientifique : « Ordinairement avec la majuscule quand il est employé absolument. Mammifère de l’ordre des Primates possédant au plus haut degré les caractères définissant le genre Homo (voir ce mot). Les origines de l’Homme. Les premiers vestiges de l’Homme. L’évolution de l’Homme« .

Votre phrase relève-t-elle de ce domaine scientifique ? On pourrait être tenté de répondre par l’affirmative, dans la mesure où on peut substituer à homme, Homo sapiens, au même titre que dans les exemples donnés :
C’est la plus grande forêt plantée par Homo sapiens // Les origines d’Homo sapiens. Les premiers vestiges d’Homo sapiens. L’évolution d’Homo sapiens.
Mais on peut opérer cette substitution dans d’autres exemples donnés par l’Académie pour lesquels elle ne met pas de majuscule : la nature de l’homme / la condition de l’homme > la nature d’Homo sapiens, la condition d’Homo sapiens.

Bref, c’est casse-gueule. J’aurais tendance à suivre la majorité des lexicographes et à ne pas mettre de majuscule, d’autant que l’Académie précise « ordinairement », donc non systématiquement. Intuitivement, il me semble d’ailleurs que ce soi-disant usage ordinaire est plutôt minoritaire (dans les ouvrages de biologie, ethnologie, philo, etc.), mais c’est une intuition possiblement erronée.

De même que l’on dira : Cette question, j’en connais la réponse (et non J’y connais la réponse, sauf peut-être dans certaines régions).

Je pense qu’il y a là un conflit entre la morphosyntaxe et la sémantique.

Morphosyntaxe : ce complément du nom est tiré d’un verbe qui se construit avec la préposition à : répondre à une question ; dans ce cas généralement le complément du nom conserve la préposition du verbe, on a donc logiquement la réponse à la question.

Sémantique : le lien entre le complément et le complété est de l’ordre de l’appartenance ; sens qui est normalement porté par la préposition de. Cette donnée sémantique est manifestement plus forte que celle morphosyntaxique et c’est ainsi que la préposition à est traitée comme un de et pronominalisée avec les pronoms (dont / en) associés à cette dernière préposition (c’est peut-être d’autant plus facile que la préposition à peut également signifier l’appartenance > Une idée à moi, Le voisin à mon père, etc.)

Les deux formes sont possibles avec la nuance suivante :
Voila quoi se mettre sous la dent / quoi manger = on va se mettre sous la dent / on va manger un agneau/de l’agneau.
Voilà de quoi se mettre sous la dent / de quoi manger = cet agneau va fournir ce qu’il nous faut à manger.

Sémantiquement, les deux options sont parfaitement acceptables. Il semblerait que l’usage privilégie le féminin, mais le Tlfi donne le masculin.

Joëlle vous a fort bien répondu, je lui pique son exemple avec lien de filiation et avec une formulation à peine moins alambiquée que la vôtre :
Le célèbre épicier, qui prend soin avec son épouse de son fils / de leur fils lourdement handicapé depuis 30 ans maintenant, a rencontré aussi la philatélie.

Le choix entre les deux déterminants me semble fort clair : son si le commerce appartient au seul épicier, leur si l’affaire appartient au couple.

L’argument du pluriel qui ne s’entend pas est tout de même très faible. Si dans Un monde sans animaux, on met animal au pluriel, ce n’est pas parce que le pluriel est audible, mais parce que le sens requiert un pluriel.

Donc soutenir que bien qu’on mette le pluriel dans Un monde sans animaux, on ne le mettrait pas dans Un monde sans hommes sous prétexte que « faute [d’]entendre [le pluriel], c’est le cas de base  [i.e. le singulier] qui reste en place par défaut »* n’est pas recevable.

Alors évidemment, quand le pluriel n’est pas audible, les occurrences au singulier existent (même si elles restent minoritaires par rapport au pluriel), alors qu’elles sont très logiquement absentes lorsqu’il est audible.

* Le « (ou même si cela s’entend d’ailleurs) » a été rajouté après ma réponse ; donc Un monde sans animal ? Un visage sans œil ?

Ce chien est stérile, ils ne peuvent pas / ne pourront pas en faire un étalon.
> Si ce chien n’était pas stérile, ils pourraient en faire un étalon.

Ce chien est stérile, ils n’ont pas pu en faire un étalon.
> Si ce chien n’était pas stérile, ils auraient pu en faire un étalon.

Ce chien était stérile, ils n’ont pas pu en faire un étalon.
> Si ce chien n’avait pas été stérile, ils auraient pu en faire un étalon.

Le participe n’est pas systématiquement invariable comme semble le suggérer la réponse de Ouatitm. Dans le cas présent, il reste inchangé, parce que le COD est placé après l’auxiliaire (de plus c’est un infinitif), mais si le COD n’est pas un infinitif et qu’il est antéposé, le participe variera normalement selon le genre et le nombre de ce COD :

Il s’était proposé une mission et il l’a brillamment réussie >  La mission qu’il s’était proposée, il l’a brillamment réussie.