C’est une locution adverbiale, qui indique en effet une circonstance. Pourquoi pas CC de degré (ou de quantité ou d’intensité).

1-
C’est la même histoire que celle des chapeaux (leur/leurs).

Vision distributive = singulier : La cime de chaque arbre / leur cime.
Vision collective = pluriel : Les cimes de tous les arbres / leurs cimes.

2-
Exactement : présent de vérité générale.

Pour la première, seul le singulier est correct : on dit avoir de l’oreille / l’oreille musicale et non avoir des oreilles / les oreilles musicales.

En revanche, ça ne signifie pas bien entendre, mais avoir un bon sens musical.

Pour bien entendre on dirait plutôt : avoir une bonne oreille, avoir l’oreille fine (là encore, on voit que le singulier est de mise).

Pour la deuxième, le singulier n’est pas absurde, mais dans la mesure où on emploie dans ce contexte nettement plus fréquemment le pluriel, il serait logique de le conserver :

Avez-vous des enfants  ?  (plutôt que un enfant)

Combien avez-vous d’enfants ? (là seul le pluriel est possible)

Si on veut insister sur le singulier : Ils rêvent d’avoir un enfant.

Si vous êtes francophone native ou tout à fait bilingue, faites à l’oreille en mettant une forme auditivement différente pour le singulier et le pluriel (personnellement, je vote pour le singulier) :

S’alimenter, s’abriter, s’organiser est / sont / sera / seront  essentiels mais se soigner aussi.

Une teinte peut tout à fait être qualifiée de délavée . Ci-dessous la définition donnée par le Tlfi, et ici un exemple d’article qui emploie abondamment cet adjectif pour qualifier les teintes/couleurs utilisées en déco.

Par conséquent, les deux accords sont possibles, mais n’ont pas tout à fait le même sens.

Des murs couleur [lavande délavée].

Des [murs couleur lavande] délavés.

Les deux accords sont possibles, extrait du dictionnaire de l’Académie :

Si les longues discussions ne vous rebutent pas, vous avez ici des explications sur ce choix entre singulier et pluriel.

Vouloir n’est pas un semi-auxiliaire, c’est un verbe transitif de sens plein, par conséquent :

répondre à cette question = COD du verbe vouloir

à cette question = COI du verbe répondre

Les deux accords sont possibles :

Il fronça légèrement les sourcils, ses grands yeux noirs brillants sous la lueur du feu = qui étaient brillants sous la lueur du feu

Il fronça légèrement les sourcils, ses grands yeux noirs brillant sous la lueur du feu = qui brillaient sous la lueur du feu.

Ce cas n’est pas spécialement rare :

Les femmes brûlant / brûlantes de fièvre gisaient sur des grabats.

Les femmes tremblant / tremblantes de peur se cachaient sous des grabats.

Vos deux énoncés ne sont pas comparables.

– Zéro est un déterminant numéral qui indique la quantité nulle, par conséquent le substantif qui suit se met obligatoirement et uniquement au singulier :

Zéro erreur
Une erreur
Deux erreurs
Des erreurs

– Pas de  est un adverbe de négation qui dans votre cas nie la pluralité (puisque la version non négative de la locution est : faire des erreurs), par conséquent le substantif qui suit est au pluriel.
Est-ce que tu as fait des erreurs > Non, je n’ai pas fait d’erreurs.

Avec pas de, c’est le contexte qui détermine le nombre. Illustration:
Un être humain a des yeux, on nie le pluriel : il n’a pas d’yeux.  Il n’a pas d’œil.
Un cyclope a un œil, on nie le singulier : il n’a pas d’œil.  Il n’a pas d’yeux.