Sémantiquement, les deux options sont parfaitement acceptables. Il semblerait que l’usage privilégie le féminin, mais le Tlfi donne le masculin.

Joëlle vous a fort bien répondu, je lui pique son exemple avec lien de filiation et avec une formulation à peine moins alambiquée que la vôtre :
Le célèbre épicier, qui prend soin avec son épouse de son fils / de leur fils lourdement handicapé depuis 30 ans maintenant, a rencontré aussi la philatélie.

Le choix entre les deux déterminants me semble fort clair : son si le commerce appartient au seul épicier, leur si l’affaire appartient au couple.

L’argument du pluriel qui ne s’entend pas est tout de même très faible. Si dans Un monde sans animaux, on met animal au pluriel, ce n’est pas parce que le pluriel est audible, mais parce que le sens requiert un pluriel.

Donc soutenir que bien qu’on mette le pluriel dans Un monde sans animaux, on ne le mettrait pas dans Un monde sans hommes sous prétexte que « faute [d’]entendre [le pluriel], c’est le cas de base  [i.e. le singulier] qui reste en place par défaut »* n’est pas recevable.

Alors évidemment, quand le pluriel n’est pas audible, les occurrences au singulier existent (même si elles restent minoritaires par rapport au pluriel), alors qu’elles sont très logiquement absentes lorsqu’il est audible.

* Le « (ou même si cela s’entend d’ailleurs) » a été rajouté après ma réponse ; donc Un monde sans animal ? Un visage sans œil ?

Ce chien est stérile, ils ne peuvent pas / ne pourront pas en faire un étalon.
> Si ce chien n’était pas stérile, ils pourraient en faire un étalon.

Ce chien est stérile, ils n’ont pas pu en faire un étalon.
> Si ce chien n’était pas stérile, ils auraient pu en faire un étalon.

Ce chien était stérile, ils n’ont pas pu en faire un étalon.
> Si ce chien n’avait pas été stérile, ils auraient pu en faire un étalon.

Le participe n’est pas systématiquement invariable comme semble le suggérer la réponse de Ouatitm. Dans le cas présent, il reste inchangé, parce que le COD est placé après l’auxiliaire (de plus c’est un infinitif), mais si le COD n’est pas un infinitif et qu’il est antéposé, le participe variera normalement selon le genre et le nombre de ce COD :

Il s’était proposé une mission et il l’a brillamment réussie >  La mission qu’il s’était proposée, il l’a brillamment réussie.

Se ruer est un verbe pronominal autonome, par conséquent, le participe passé s’accorde en effet, mais non avec se qui ici n’est pas analysable (on ne rue pas quelqu’un ou quelque chose > Les patrons ont rué eux-mêmes), mais avec le sujet (les patrons).

Il n’y a pas de trait d’union et le plus logique est de laisser découverte au singulier > Des sorties découverte.

Découverte est ici un substantif en fonction épithète. Deux cas sont alors possibles : soit le substantif vient en qualification, soit il vient en complémentation.

Le substantif vient en qualification quand on peut établir une équivalence entre les deux noms :
un artiste vedette = un artiste qui est une vedette.
Alors, le substantif épithète, à la façon de l’adjectif qualificatif, s’accorde en nombre avec le nom qu’il complète > Des artistes vedettes.

Dans le cas qui nous occupe, peut-on dire que les sorties sont des découvertes ? Non, par conséquent découverte ne vient pas en qualification, mais en complémentation, à la façon d’un complément du nom avec ellipse des préposition ou proposition introductrices.
Alors le substantif épithète prend la marque du pluriel en fonction du sens.
Comment analyser une sortie découverte ? Ce n’est pas tant une sortie au cours de laquelle on va faire une ou des découvertes, qu’une sortie au cours de laquelle on va à la découverte de …
Par conséquent, que sortie soit au singulier ou au pluriel, découverte devrait logiquement rester au singulier.

L’usage suit majoritairement ce principe, mais on trouve des occurrences de découverte au pluriel quand sortie l’est également, en revanche à peu près pas de découverte au pluriel quand sortie est au singulier.

Vous avez le choix entre les deux accords, que le complément soit ou non exprimé.

Voir par exemple ici.

Au carré (encore plus superlatif au cube) a bien ce sens figuré, il est donné par Wiktionnaire comme un québécisme, mais je ne suis pas Québécois et pourtant je connais cette expression, que l’on rencontre sous la plume d’auteurs qui ne sont pas non plus Canadiens.
Vous avez également la variante puissance 2, 3,…, x.