1. Le A est bon en effet : Dans le délai de trois jours, lequel délai… En revanche, je n’aurais pas choisi le C.
2.  Les réponses sont bizarrement  inversées : B et D acceptent les deux pluriels, les autres non.
3. Le népotisme se rapporte à des liens familiaux. Dans la réponse D, il s’agit de liens amicaux.
4. « Comme ma sœur »  peut être considéré comme une apposition au sujet « Ma mère » et non comme un second sujet. La mise en incise lèverait les doutes : Ma mère, comme ma sœur, aime le cinéma.

Il ne s’agit pas d’une règle, mais d’une anomalie historique intéressante. Voir ce que j’ai publié il y a quelques jours…
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Vous avez mis le pied sur un sujet —  un de plus !  — qui divise les autorités linguistiques. On retrouve le même problème avec égal, voire avec rival, dans les tournures comme :
— à nul autre pareil/égal ;
— sans pareil/égal ;
— (ne pas) avoir son pareil/égal.
Vous pouvez consulter ce billet pour en savoir plus… ou douter de manière plus savante.
Je ne donnerai pas de conseil personnel, mais pour faire simple on peut retenir que l’accord, tant en nombre qu’en genre, ne sera jamais vraiment fautif mais apparaitra souvent comme plus intuitif.

Il y a effectivement un  risque de pléonasme grammatical dans certaines constructions avec dont lorsqu’il est placé après une première utilisation de de comme préposition :
— C’est d’une bonne correction qu’il a besoin (et non dont il a besoin)
ou
— C’est une bonne correction dont il a besoin.
L’Académie considère cette redondance comme fautive (voir ici)

En revanche, dans l’exemple que vous donnez, dont se trouve en première position et n’est pas redondant. Il ne doit donc pas être remplacé par que.
— Ce dont il a besoin, c’est d’une bonne correction.

La partie 1 de votre question est intéressante (pour moi en tout cas) car représentative de difficultés de la langue qu’il convient de clarifier.
De nombreux manuels donnent en effet le participe passé de ces quatre verbes comme étant invariable à la forme pronominale. Cette position est néanmoins de plus en plus contestée, avec raison à mon sens :
1. Dans leur usage pronominal (non réciproque), ces verbes sont essentiellement pronominaux (le pronom n’a aucune fonction grammaticale) et doivent donc s’accorder avec le sujet.
2. Littré acceptait l’accord et personne n’est en fait catégoriquement contre pour une raison fondée. Il s’agit plutôt d’un état de fait acceptant cela comme des exceptions d’usage ;
3. La littérature est effectivement remplie d’exemples avec l’accord.

Vous pouvez donc vous sentir autorisé à accorder en toute bonne conscience et avec les règles d’accord des participes de votre côté ! Ce n’est pas rien.

N.B. Il va sans dire (et mieux en le disant) qu’en cas de pronominal réciproque l’accord ne se fait plus, le pronom étant C.O.I. : Elles se sont plu au premier coup d’œil.

Un produit « stop-douleur », c’est proprement un antalgique, un anesthésique, un analgésique, un calmant ou un sédatif.  Il faut absolument lutter contre l’appauvrissement de la langue par des mots passe-partout et indistincts…

La réponse de jbambaggi est déjà très complète, mais on peut affiner par les éléments suivants :
— dans les titres, tout se met en capitales :  LA FRANCE AU XXᴱ SIÈCLE ;
— le mot siècle ne soit pas être abrégé, sauf contrainte particulière (bibliographie, références) ;
— dans les typos – très – soignées, le caractère d’abréviation n’est pas vraiment un exposant (notion mathématique), mais un « caractère haut »,  inégalement disponible selon les logiciels de traitement de texte. Le haut dudit caractère ne dépasse pas le haut de la capitale, ce qui est beaucoup plus joli ( Xᵉ est une illustration approximative).

Ce sont pour la plupart des anacoluthes, des constructions syntaxiquement bancales. Il faut reformuler pour que les mots en début de phrase se rapportent au sujet du verbe ou en faire une proposition séparée.
De plus, il vaut mieux faire des phrases avec un verbe… la preuve !

L’exemple que vous donnez est un bon exemple de…  contre-exemple ! Cette épigraphe est mal composée selon les normes partagées par les typographes. Voir Lacroux ici. Mais les typographes se font rares à l’ère numérique et les éditeurs propagent des modes que personne ne contrôle.

Sinon, pour revenir à la première question, les guillemets se mettront dans le style (italique ou romain) de ce qu’ils encadrent. Ce qui est contestable, c’est d’opposer ce style au style du texte courant, très généralement du romain :
— Il citait souvent cette phrase de Picabia : « Si vous voulez avoir des idées propres, changez-en comme de chemise. » >>> Bon.
— Il citait souvent cette phrase de Picabia : Si vous voulez avoir des idées propres, changez-en comme de chemise. >>> Acceptable.
— Il citait souvent cette phrase de Picabia : « Si vous voulez avoir des idées propres, changez-en comme de chemise. » >>> Non.

J’espère que cela est plus clair.

Il est « normalement » redondant d’utiliser simultanément  les guillemets et l’italique pour signaler une citation ou du discours direct, même si la pratique se constate. L’italique a normalement d’autres missions.
Fondamentalement, les guillemets ont vocation à isoler ce qu’ils encadrent et ne doivent donc pas modifier l’aspect du texte d’ensemble (inversion  habituelle romain-italique).
Si vous avez un exemple particulier, il faut le proposer (vous pouvez compléter la question).