Dans le domaine judiciaire ou juridique, le mot « partie » (féminin) est utilisé pour désigner les camps qui s’affrontent dans une affaire ou participent à un contrat. Il entre dans de nombreuses locutions : la partie adverse, la partie lésée, entendre les parties, partie civile, prendre à partie, etc.
Même s’il en est souvent l’origine, le litige n’est pas à proprement parler un terme de procédure et le mot n’est pas approprié.  On parlera plutôt de partie au procès. 

Vous trouverez dans l’ouvrage Orthotypographie l’ensemble des situations avec usage de l’apostrophe. Vous not’rez le passage suivant se rapportant précisément à votre question :
Si la liaison s’effectue — ou lorsqu’on souhaite indiquer une agglutination occasionnelle —, pas d’espace après l’apostrophe, qui ne peut finir une ligne : c’t’enfoiré m’charrie. Toutefois, si la chaîne ainsi formée s’allonge démesurément ou si la liaison s’effectue après un mot plurisyllabique, une espace viendra clarifier la situation : c’t’aimab’ enfant est une véritab’ enchanteresse.

En conséquence, vos exemples deviennent :
— « Ton amitié, j’la vis comme… »
— « En cett’ journée d’été… » ou mieux « En cet’ journée d’été… » puisqu’on n’entend qu’un seul t.  La forme « En c’te journée d’été… » peut aussi se justifier pour une prononciation légèrement différente.

Les accords par syllepse (selon le sens) posent régulièrement des problèmes d’interprétation et les grammairiens ne font que compliquer la tâche et la mémorisation d’une solution simple et de bon goût.
Dans votre exemple, le pluriel me semble préférable : plusieurs couleurs au départ, plusieurs à l’arrivée : les feuilles ont changé leurs couleurs.  Mais penser que chacune change sa propre couleur n’est pas idiot.
Finalement, les deux se valent grammaticalement et une recherche dans les textes montre la présence des deux solutions.

Reconnaissant est attribut de « nous » et s’accorde donc en genre et en nombre avec lui :
Nous ne pouvons donc qu’être reconnaissants (reconnaissantes) de votre sensibilité.

C’est bien : Il se sentit traîné à l’extérieur sans ménagement. 
Ce n’est pas le sujet qui exécute l’action, mais il la subit.  « Trainé » est donc un attribut du sujet par l’intermédiaire du verbe d’état « se sentir » (forme passive).
Achevez de vous en convaincre avec un verbe d’un autre groupe : Elle se sentit extraite à l’extérieur du trou.

La marque suédoise Spotify semble avoir été la première en 2006 à adopter ce type de désinence. Son succès a entrainé d’autres créations sur ce modèle. On peut comparer aux noms en « oo », comme Wanadoo, Deliveroo et tant d’autres qui ont été forgés dans le sillage du succès planétaire de Yahoo.
Ce sont des créations linguistiques marketing qui ont comme base commune une facilité de prononciation dans de nombreux pays et la consonance anglophone due à leur origine.
Vu les besoins croissants en matière de noms de marques, nul doute qu’on aura d’autres vagues…

Effectivement, seule la phrase 2 est correcte.
En effet, dans les trois autres on a une construction fautive, malheureusement courante, dénommée anacoluthe.  Le sujet du verbe  ne correspond pas à celui attendu et demandé par la première partie de la phrase.  On devrait successivement avoir :
1.  Dans l’espoir que vous prendrez ma demande en compte… >>> sujet attendu « je » ;
3.  En attendant votre réponse… >>> sujet attendu « je » ;
4.  En recevant cette lettre… >>>  sujet attendu « vous ».
Il faut donc à chaque fois reformuler la phrase.

Au singulier le mot intérêt désigne plutôt le taux. Au pluriel, c’est le résultat, les sommes dues au titre de l’intérêt. On parle aussi d’agios.

À défaut de mention explicite dans un dictionnaire, on peut se référer à la pratique courante des composés du mot « couleur » : des photos couleur, haut en couleur, des crayons de couleur, des téléviseurs couleur, etc.
Sauf sens très particulier qui m’échapperait, le singulier me semble donc préférable : des profils couleur.

Comme expliqué dans les précédentes réponses, l’accord peut se faire selon le sens avec le sujet ou son complément. Mais si, comme dans votre exemple, vous utilisez un verbe attributif (être, sembler, paraître, etc.), vous devez conserver la cohérence entre sujet,  verbe et attribut.