En français, la conjonction ou est inclusive par défaut : si aucun élément sémantique spécifique n’impose un singulier, c’est le pluriel qui s’impose dans les accords.
Dans votre exemple, les éléments (personne, entreprise, proche) peuvent se cumuler ce qui entraine l’emploi du pluriel : « Vous, votre entreprise ou un proche êtes peut-être concernés. »
NB Pas de virgule avant ou.

Cela semble évident : à la plage est une localisation globale (à la montagne, à la campagne), sur la plage plus précis au niveau de la surface.
Un conseil : ne pas oublier le parasol, les insolations engendrant parfois des hallucinations linguistiques…

L’usage des adverbes là et ci  pour renforcer un nom est une forme archaïque remontant au latin (les enclitiques, particules soudées en fin de mot) et à ce titre il n’a pas toujours été bien codifié. Ce n’est d’ailleurs pas de l’orthographie mais de la typographie et cela a beaucoup varié dans le temps.
Le trait d’union reliant l’adverbe au dernier nom ou pronom (ceux-ci, celle-là) il est de nos jours incohérent de le faire figurer si l’adverbe ne se rapporte pas à ce nom ou pronom spécifiquement. Si vous écrivez pomme-de-terre (nom unique composé), il doit apparaitre. Si vous graphiez pomme de terre (locution), il ne le doit pas car là ou ci se rapporterait alors à terre.

Sauf recherche d’un éventuel jeu de mots, l’accord se fait normalement en fonction du sexe de la personne, pas de son surnom. De même, si la personne est reprise dans la suite, elle reprend son sexe : « Le Flamant rose s’est maquillée. Elle va draguer les marais des bas-quartiers… »

Votre raisonnement est juste : l’accord se fait bien avec rien (pronom neutre) et non avec le sujet du verbe. À comparer avec quelque chose qui est du même type.
Commentaires et exemples dans le billet ci-joint.

L’accord du participe attribut (ici épris) se fait avec le sujet du verbe être.
Lorsqu’il est pronom indéfini (ne désignant pas des personnes identifiées ou un groupe déterminé) on entraine des accords au masculin singulier.
– La personne dont on est épris (généralité).
Mais :
– La personne dont on est éprises (deux femmes parlant du même homme, par exemple. On = nous).

Sur votre première question :
Que ce soit en latin (gerundium = gerundi modus, mot qui est lui-même un gérondif) ou en français le mot gérondif s’applique à une forme du verbe, à côté de l’infinitif, du supin et des formes conjuguées selon la personne. C’est une appellation descriptive, plutôt du domaine de la linguistique, relative à la forme des mots (morphologie). En latin on trouve -undus, en anglais -ing, en allemand -end  et -ant en français.
L’appellation « participe présent » appartient elle à la grammaire scolaire « moderne » mais on aurait pu en faire l’économie car elle recoupe sensiblement le même usage et n’apporte rien de spécifique.
L’usage de la préposition en devant le gérondif est en effet souvent optionnel. C’est un gallicisme même si l’anglais par exemple utilise parfois when pour introduire une proposition. Je pense qu’il s’agit là d’un « mot outil » (non syntaxique) pour éviter la confusion entre gérondif pur et adjectif dérivé de ce gérondif :
C’est ainsi que Trenet est devenu fou chantant vs C’est ainsi que Trenet est devenu fou en  chantant.

Un complément détaillé du linguiste Michel Francard sur l’accord de proximité, en genre mais aussi en nombre.

Plusieurs réponses sont possibles :
1. Accord de proximité :  « Quelle île ou archipel est revendiqué par les Français ? »  Il s’agit d’une solution parfaitement correcte lorsque les mots sont accolés, n’en déplaise à certains puristes du « tout masculin ». Voir ici un billet instructif des correcteurs du Monde à ce sujet.  Vous noterez qu’au singulier, ce principe est appliqué deux fois dans la phrase (quel et participe passé).
2. Inverser l’ordre des mots : « Quel archipel ou île est revendiqué par les Français ? » Pour les puristes du masculin à tout crin.
3. Mise en incise : « Quelle île, ou archipel, est revendiquée par les Français ? ». « Quelle île (ou archipel) est revendiquée par les Français ? » L’incise n’influe pas sur les accords.

Comme souvent dans ce type de tournure, il est préférable, en cas de besoin, d’indiquer le pluriel spécifiquement. Le marquage purement graphique par un s , le plus souvent inaudible donc, n’apporte en effet pas d’information : si vous n’avez pas une personne disponible vous n’en aurez pas plusieurs et le singulier suffit.
–  Je n’ai pas de personne disponible.
–  Je n’ai pas les personnes disponibles.