Pour « de même » voici la définition du CNRTL : de la même manière, de la même façon
Voir ici http://www.cnrtl.fr/definition/m%C3%AAme

Dans ce cas, si vous dites « J’en ai fait autant » ou « J’ai fait de même » les deux tournures sont équivalentes et signifient « j’ai fait la même chose ».
Exemple :
Il est allé se balader, j’en ai fait autant / j’ai fait de même.

Maintenant, vous parlez d’introduire une idée de défi. Cela peut être le cas quand on introduit dans la phrase des pronoms :
Exemple :
Son copain lui a détruit son château de sable, mon fils lui en a fait autant.
Il m‘a ignorée toute la soirée, j’en ai fait autant avec lui.

Mais je parlerais plutôt de « réciprocité » :
Il m‘a embrassée, je lui en ai fait autant.

Parfois « de même » peut être remplacé par  » pareillement  » ou « idem », comme dans le film GHOST :
Quand elle lui disait « je t’aime » il lui répondait « idem ».
Il aurait pu tout aussi bien répondre « de même » ou « pareillement », dans les trois  cas, c’était une façon pudique de lui dire « moi aussi je t’aime ».

Puisqu’ils ont plusieurs clients, vous écrirez « leurs clients« .
Donc vous ne pouvez pas laisser « entretien » au singulier, sauf s’ils voient tous leurs clients lors d’un seul entretien (ce qui est fort peu probable !).

De plus, puisque ce sont les personnes (nom féminin) qui racontent, même si ces personnes sont des femmes et des hommes, vous devez accorder « ils sortent fatigués« au féminin pluriel :

Je m’occupe de personnes qui me racontent qu’elles sortent fatiguées de leurs entretiens de vente avec leurs clients.

« Bonjour, j’aimerais changer le rdv téléphonique en rdv physique, cela est-il possible? »

Tout d’abord, s’il s’agit d’un courrier professionnel, vous ne pouvez pas commencer votre lettre ou votre e-mail par « Bonjour ». C’est tout à fait incorrect.

D’une part parce que dans les règles de la bienséance, ceux qu’on enseigne aux enfants comme étant « les mots magiques », c’est-à-dire Bonjour / Au revoir / S’il vous plaît / Merci , doivent toujours être suivis d’une appellation :
Merci madame, s’il te plaît maman, bonjour Paul, au revoir monsieur le directeur.

Et ce sont réellement des mots magiques, mais dans notre communication orale !
Le message téléphonique (Texto, SMS) a rapidement été assimilé à un coup de fil, raison pour laquelle il commence souvent par des salutations.

Malheureusement, cet usage s’est depuis propagé à tort à la plupart des correspondances écrites, où il est parfaitement inapproprié.

Dans notre communication écrite, et d’autant plus dans les lettres et les e-mails professionnels. en début de courrier on n’attend pas une salutation mais une appellation :
Ma chère maman / Mon cher Paul
Madame / Monsieur / Chère Madame / Cher Monsieur
Monsieur le directeur / Madame la Présidente

Les salutations interviennent en fin de courrier :
Veuillez agréer mes cordiales salutations / mes salutations distinguées
Cordiales salutations / Cordialement
Je t’embrasse, à bientôt

De plus, vous ne pouvez pas vous permettre d’écrire rdv, ni même RDV.
Cela donnerait l’impression à votre correspondant que vous ne prenez pas le temps de lui écrire convenablement, et que vous ne lui accordez pas d’importance.

Il est recommandé de ne pas utiliser le conditionnel dans un écrit professionnel, ce qui envoie un message négatif.
Préférez l’indicatif « Je souhaite ».

Juste pour que vous ne vous fassiez trop d’illusions :
En général, les décideurs sont très occupés, et ils préfèrent d’abord accorder un entretien téléphonique, avant un entretien particulier (ou à la place de, s’ils n’ont pas été convaincus lors de l’entretien téléphonique).
Et c’est très compréhensible.

De plus « RDV physique » a une connotation « légère », et ne me semble pas être très approprié.

Alors au fond, le verbe « changer » est loin d’être le gros problème de votre phrase, et me semble être plutôt bien adapté dans votre cas.

Voici ma suggestion :
Madame, (ou Monsieur,)
À propos de notre entretien téléphonique prévu le … à … heures, je souhaite le remplacer par un entretien en tête à tête, si cela vous convient.

Je suppose que c’est juste une coquille de votre part (faire LE même) dans l’énoncé de votre question, car dans votre titre il s’agit bien de « faire DE même« .
J’en profite donc pour préciser que « faire LE même / faire LA même » est une tournure très contestable qui appartient au langage de « djeuns »,  et signifie « faire la même chose« .

Ravie, moi aussi, de vous revoir Zully.
Vous savez, il ne peut être question de « retard » ici, chacun répond à son rythme, à son heure, et quand il en a le temps justement.
Oui, vous avez raison, cet article du CNRTL n’en finit pas !
Il est normal que vous ne retrouviez pas la phrase que je cite, car c’ est un exemple (inventé) que je vous donne de l’emploi de cette expression.

« Reprendre la main » signifie « reprendre le dessus », « reprendre le pouvoir », « reprendre la tête ».
À l’origine, vocabulaire appartenant aux jeux de cartes (voir http://www.cnrtl.fr/definition/MAIN )
« À la dernière manche, il a repris la main sur ses concurrents« 

J’allais rester : « j’étais sur le point » ou « j’avais décidé de rester. »
Je deviendrai :  si je reste, plus tard je deviendrai…
Je deviendrais : je savais que si je restais, plus tard je deviendrais…
J’aurais aimé : si j’étais resté, j’aurais aimé devenir… (conditionnel passé)
J’aurai aimé : je regrette de partir, mais au moins j’aurai aimé mon travail et mes collègues. (futur antérieur)

Voici ce que je comprends de l’histoire :
Il s’agit d’une femme qui a « mis la pagaille » sur son lieu de travail, et qui a été renvoyée.
OU BIEN
Il s’agit de quelqu’un qui parle d’une femme qui a « mis la pagaille » sur son lieu de travail, et qui par-dessus le marché a reçu des remerciements de la part de ses supérieurs.

Dans les deux cas, celui qui parle trouve cela injuste (« Non »). Pourtant, il était prêt à rester à son poste et faire des efforts, dans le but d’atteindre un jour ses objectifs.

Mais la fin de votre phrase n’est pas claire « je deviendrai ce que j’aurais aimé qu’il soit« .
Qui est « il » ? Je m’attendais à ce que vous écriviez « ce que j’aurais aimé être » ou éventuellement « ce qu’il aurait aimé être« .

Voici ma suggestion :
« Être gentiment remerciée pour avoir mis la pagaille ? Non. J’allais rester en prenant sur moi, et un jour je serais devenu/devenue ce que j’aurais aimé être / ce qu’il aurait aimé être. »

Il me semble que cela peut être une antanaclase elliptique ou une syllepse.
Voici un article passionnant sur le sujet : https://www.laculturegenerale.com/antanaclase-diaphore-definition-exemples/

Voici in extenso l’article de l’Académie sur le sujet :

L’usage des meilleurs auteurs hésite entre le singulier et le pluriel (pour le nom et pour le possessif) lorsqu’un nom désigne une réalité dont plusieurs « possesseurs » possèdent chacun un exemplaire : on considère tantôt l’exemplaire de chacun, tantôt l’ensemble des exemplaires. Ainsi : « Mes compagnons, ôtant leur chapeau goudronné […] » (Chateaubriand) ; « Les deux lords […] ôtèrent leurs chapeaux » (Hugo) ; « trois avaient déjà retrouvé leur femme » (Chamson) ; « deux de mes amis et leurs femmes » (Arland).

Prince, votre interlocuteur vous a simplement confirmé que les deux tournures sont possibles.
Mais vous n’avez lu que ce que vous vouliez bien lire, et vous n’avez pas lu non plus que tout dépend du contexte.

Si vous écrivez :
« Ils ont perdu leur maison, qui a été détruite par les inondations » à votre avis que comprend le lecteur ?
Il ne peut comprendre qu’une chose, c’est qu’ils vivent tous dans la même maison.

Voici quelque chose qui vous aidera : https://www.projet-voltaire.fr/regles-orthographe/l-ouest-ou-l-ouest/