Je dirais que les deux expressions sont synonymes et signifient : faire pareil.

Je suppose que c’est juste une coquille de votre part (faire LE même) dans l’énoncé de votre question, car dans votre titre il s’agit bien de « faire DE même« .
J’en profite donc pour préciser que « faire LE même / faire LA même » est une tournure très contestable qui appartient au langage de « djeuns »,  et signifie « faire la même chose« .

Oui, exactement. Mais  je ne suis pas d´accord avec l´explication  du  Grand maître.

Faire   de même =  faire une  chose  aprés quelqu´un
En faire autant  =  défier faire un  chose

Pour « de même » voici la définition du CNRTL : de la même manière, de la même façon
Voir ici http://www.cnrtl.fr/definition/m%C3%AAme

Dans ce cas, si vous dites « J’en ai fait autant » ou « J’ai fait de même » les deux tournures sont équivalentes et signifient « j’ai fait la même chose ».
Exemple :
Il est allé se balader, j’en ai fait autant / j’ai fait de même.

Maintenant, vous parlez d’introduire une idée de défi. Cela peut être le cas quand on introduit dans la phrase des pronoms :
Exemple :
Son copain lui a détruit son château de sable, mon fils lui en a fait autant.
Il m‘a ignorée toute la soirée, j’en ai fait autant avec lui.

Mais je parlerais plutôt de « réciprocité » :
Il m‘a embrassée, je lui en ai fait autant.

Parfois « de même » peut être remplacé par  » pareillement  » ou « idem », comme dans le film GHOST :
Quand elle lui disait « je t’aime » il lui répondait « idem ».
Il aurait pu tout aussi bien répondre « de même » ou « pareillement », dans les trois  cas, c’était une façon pudique de lui dire « moi aussi je t’aime ».

Merci,très bonne réponse.

Que faut-il penser de la tournure « en faire de même »? Pour moi, elle est fautive. « Faire de même » n’admet pas le pronom « en ». Votre opinion svp.