1) La deuxième phrase est tout à fait correcte.
« discrètes » est attribut de elles et s’accorde avec lui.

2) C’est la répétition de pour qui est gênante, toutefois, les deux pour n’ont pas la même fonction ; si cela gêne votre oreille, on pourrait écrire : 
« C’est un programme destiné au volume musculaire pour lequel vous devez faire cent répétitions ».

 Prenez l’habitude d’écrire vos chiffres en toutes lettres.

Il aura servi qui ? sa patrie. « sa patrie » est COD du verbe servir.
« servir » est donc bien transitif direct.

1) Des alentours et aux alentours ont exactement ici la même signification.
On emploiera aux alentours dans une expression comme « regarder aux alentours ».

2) La formule étant en début de phrase, le en n’est pas obligatoire.

3) Si le terme désignant les habitants d’un endroit (gentilé) qualifie un nom, il est adjectif et ne prend pas de majuscule :
Les joueurs allemands ont été surprenants d’efficacité.

Ici, manifestement « parisien » est le nom et jeune l’adjectif, on écrira donc :
les jeunes Parisiens.

On peut néanmoins écrire :
des jeunes, parisiens, étaient venus à la fête.
Mais il faut se préserver de toute ambiguïté.

L’amitié, la confiance étant des termes abstraits, le singulier est de rigueur :
« L’amitié, la confiance  pourront s’épabouir sans limite ».

Des extraits : des est déterminant.
de plantés : de est préposition (des extraits de quoi ?).

« Sans pareil », à la différence de sans égal , prend non seulement la marque du féminin singulier ou pluriel (une beauté sans pareille, des beautés sans pareilles), mais aussi celle du masculin pluriel (un joyau sans pareil, des joyaux sans pareils).

1) Dans « se faire justice », il est sous-entendu « à lui-même ».  L’emploi de « à lui-même », plus loin, à un caractère pléonastique. L’expression « Il se fait justice à lui-même » est alors incorrecte.
Il aurait fallu dire « il fait justice à lui-même ».
C’est donc la première phrase qui est correcte :
« Il se fait justice lui-même ».

2) Les deux sont corrects :
Le fax et le mail peuvent servir de mise en demeure » : mise en demeure en général.
Le fax et le mail peuvent servir de mises en demeure » : on imagine qu’ils peuvent servir pour plusieurs mises en demeure.

3) Il apparaît plus cohérent de proposer l’accord. Pourquoi? Parce que le nom en apport de qualification joue un rôle syntaxique très semblable à celui de l’adjectif.
Des chapeaux melons.
Des écoles modèles.
Des exemples types.

On écrira donc de préférence :
« Dix-neuf corrigés types et dix-neuf corrigés personnalisés. ».

Toutefois, on ne saurait considérer le pluriel comme fautif :
« Dix-neuf corrigés type et dix-neuf corrigés personnalisés ».

1. Les deux formules peuvent être employées indifféremment.
Il y a du monde de tout âge (de n’importe quel âge).
Il y a du monde de tous âges (de tous les âges).

2. Votre question n’est pas claire. Vous avez oublié quelque chose. Je suppose que c’est l’orthographe de voulu qui vous préoccupe.
La vacance peut avoir différentes raisons, rien ne dit qu’elle soit due à un empêchement présidentiel.
On considèrera donc que c’est ou l’un ou l’autre, mais pas forcément les deux, et on utilisera le singulier :
La vacance ou l’empêchement présidentiel voulu entraînera une nouvelle élection.
On peut se demander, au passage, en quoi l’empêchement présidentiel  peut être voulu.

3. Le singulier et le pluriel peuvent être employés.
Il y a une communion de pensée entre ces partis (de la pensée : chacun a sa pensée).
Il y a une communion de pensées entre ces partis (bien sûr, il y a là plusieurs pensées).

Bien sûr, si l’on utilise le présent de narration, sinon il faut respecter la concordance des temps :
« il y avait un homme qui voulait intervenir dans la discussion ».

Cependant, il serait plus élégant de dire tout simplement :
« un homme voulait intervenir dans la discussion ».

1) La lecture de la phrase laisse clairement penser que c’est « mon besoin » qui est sujet du verbe être. Il faut donc accorder avec « besoin », au singulier.
« Mon besoin de protester contre l’injustice […] est-il féminin, ou produit d’école masculine ? »

2) Non, on n’a pas le choix. Le sujet de « signifie » est « Faire » donc singulier, il ne peut en être autrement.
Le choix de l’accord par syllepse ne se pose pas ici. La syllepse est un accord par le sens. Celui-ci n’indique certes pas qu’il faut accorder avec « le français et les maths ». 
Ce ne sont pas « le français et les maths » qui signifient bien travailler, c’est « faire » du français et des maths  qui signifie bien travailler.

3) On peut faire deux choses : « On fera telle et telle chose ».
Et on peut faire plusieurs choses : « On fera telles et telles choses ».