Avoir, à l’infinitif, peut très bien être auxiliaire. Ce qu’il est ici.
Et donc, il n’y a aucune raison de déroger à la règle.

Une chose que je pouvais me vanter d’avoir protégée.
Le COD « que » est placé avant le verbe, il est féminin parce qu’il reprend « chose », le PP est accompagné de « avoir », on fait l’accord.

Non. A moins que comme Pennac vous en fassiez un surnom.
L’adjectif est simplement substantivé.
Doucement, petit/mon gars/mon vieux/chéri (…) on a tout le temps.

Noms de métier :
Acteur/actrice – agriculteur/agricultrice – instituteur/institutrice – aviateur/aviatrice – créateur/créatrice –  – opérateur/opératrice – recteur/rectrice – percepteur/perceptrice – éditeur/éditrice –  explorateur/exploratrice –  traducteur/traductrice – compositeur/compositrice – décorateur/décoratrice – correcteur/correctrice –  examinateur/examinatrice – cultivateur/cultivatrice…
Alors pourquoi pas sculpteur/sculptrice ?
Et beaucoup d’autres mots  : émetteur/émettrice – locuteur/locutrice – novateur/novatrice – – tuteur/tutrice – exécuteur/exécutrice – bienfaiteur/bienfaitrice –

« Douer » et « doter » sont des doublets. Ils viennent tous les deux du latin classique dotare attesté au propre et au figuré :  « pourvoir de »
Vous pouvez dire aussi bien l’un que l’autre.

TLF :
Elle était un de ces êtres que la nature a richement dotés (Kock, Pucelle).Elle était dotée d’une quantité de talents qui me faisaient défaut (Beauvoir, Mém. jeune fille).

Doué du génie de la corruption, il détruisit l’honnêteté de Lucien en le plongeant dans des nécessités cruelles et en l’en tirant par des consentements tacites à des actions mauvaises ou infâmes… Balzac, Splendeurs et misères des courtisanes

—-Mais cet emploi de « doué » sans jugement favorable est vieilli—-

Lord Byron, doué de tous les avantages, avait peu de chose à reprocher à sa naissance (Chateaubriand, Mémoires.

La Wallonie a choisi un gouvernement pour elle-même.
C’est le sens de votre phrase.
On voit donc que le COD est placé après le verbe, conjugué avec avoir.
On voit aussi que le pronom  « se » n’est pas COD mais COi et n’intervient pas dans la règle d’accord du participe passé.
De façon générale : quand un verbe pronominal a un COD,  la règle d’accord suit celle du verbe « avoir ».

Il est vrai, Marla, qu’on rencontre cette formule ici ou là; mais je vous donne raison.
Le TLF ne mentionne pas « mettre sa main à couper » parmi les très nombreuses expressions qui contiennent le mot « main ».
De plus, on voit assez bien, comme vous le dites,  qu’il y a fusion par confusion entre : » mettre sa main au feu » et ou « donner sa tête à couper ».

Réputé pour son savoir-faire et sa bienveillance.
A fait/fait la couverture du journal interne trimestriel.

Choisissez « a fait » s’il s’agit d’une édition antérieure ou « fait » s’il s’agit de la dernière édition. Notez la ponctuation. Les deux informations sont distinctes : un point convient mieux.

Je suis heureuse de pouvoir dire que vous avez, tous les deux, raison.

Lorsqu’ils se trouvent dans une phrase négative avec ne… pas, ne… plus, etc., l’article indéfini (un, une, des) et l’article partitif (du, de la, des) sont habituellement réduits à de (ou d’) devant le complément direct. BDL
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Il y a cependant une nuance de sens entre « de » et « un » :
Je n’ai pas trouvé de stylo dans ta trousse.
« De » signifie ici « n’importe quel » (sinon on aurait « le stylo ».
Si on écrivait : je n’ai pas trouvé un stylo dans ta trousse, cela signifierait qu’il n’y en a pas un seul -« un » est ici le nombre)
Vous ne devriez pas proposer de réunion supplémentaire 
C’est la même chose ici : le « de » est indéfini : « n’importe quelle réunion ».
Avec  : vous ne devriez pas proposer une réunion supplémentaire, on n’a plus le sens de « n’importe quelle »; cette réunion est moins indéfinie, elle est désignée comme ayant déjà une réalité, au moins dans les esprits.

Oui parce qu’il y a une différence importante entre « le voile » qui  veut désigner ici une pièce d’étoffe très fine, donc une matière*, « les voiles » (masculin pluriel) qui renvoie à la pièce vestimentaire  et « les voiles » (féminin pluriel) qu’on rencontre souvent au sens nautique.

*on dit « en voile » comme on dit « en coton » ou « en laine »

Dans « toutes ensemble »   « toutes est … pronom.
nous sommes arrivées toutes ensemble : nous sommes toutes là.
nous sommes arrivées tous ensemble : nous sommes tous là.

Voici des cas où « tout’ est adverbe devant un adjectif mais se décline au féminin quand même :
Ce pantalon est tout blanc/ cette robe est toute blanche
Et un cas plus « classique » où il accompagne un autre adverbe :
Il s’avança tout naturellement vers lui.