Joëlle a raison. Le TLF classe chose comme mot invariable lorsqu’il est : En emploi anaphorique, souvent avec un adjectif. démonstratif et, de ce fait, en concurrence avec un pronom démonstratif neutre (cf. ce, ceci, cela)]
C’est bien le cas ici : 
La seule chose qu’ils ont réussi à faire, c’est se disputer. l’ensemble a valeur de « ce » pronom neutre :
Ce qu’ils ont réussi….

Et tout saint homme qu’il était, la patience du curé avait ses limites : rupture syntaxique  > Et tout saint homme qu’il était, le curé n’avait pas une patience sans limites

2. Laquelle de ces deux phrases est la plus correcte ?
Vous me feriez plaisir de garder mon chien dimanche ou lundi prochains
Vous me feriez plaisir si vous gardiez mon chien dimanche ou lundi prochains : l’expression de la condition (ou hypothèse) est une tournure de courtoisie (atténuation de la demande)

3. reprocher que est rare
Il lui reprocha qu’il avait fait trop de bruit : très maladroit on dit normalement :  il lui reprocha d’avoir fait trop de bruit)
Il lui reproche de faire. Le subjonctif ne convient pas pour un fait avéré.

Les tâches que vous avez choisi de me confier

Si « que » est bien COD , il n’est pas COD de choisir mais de confier.

Voici une phrase complète : Les tâches que vous avez choisi de me confier sont très difficiles. 
Cette phrase se décompose en deux propositions de base :
les tâches sont très difficiles
vous avez choisi de me confier ces tâches

Voici ce que je lis dans Wikipédia – je ne suis pas d’accord avec tous les exemples : je les commente en gras.

À l’instar de « tout », d’autres adverbes peuvent s’accorder pour les mêmes raisons (et aussi parce que leur origine adjectivale est fortement ressentie). C’est notamment le cas des adverbes : droit, premier, dernier, large, frais, grand, etc. (avec de nombreuses hésitations dans l’application de la règle : doit-il y avoir accord ou pas ?) :

Des fleurs fraîches cueillies pour des fleurs fraîchement cueillies : fraîches est vu comme adjectif attribut de fleurs

Des portes grandes ouvertes. pour des portes tout à fait ouvertes : même chose

Couper les cheveux court  : emploi adverbial qui modifie le verbe couper ou couper les cheveux courts  : courts est adjectif attribut

– Julie, tiens-toi droit ! ou – Julie, tiens-toi droite ! : même chose

Des enfants mort-nés  : emploi adverbial qui modifie l’adjectif mais les enfants premiers-nés / les enfants derniers-nés : nés est considéré substantivé et premiers et derniers leurs adjectifs – le tout apposé à enfants

-Des nouveau-nés  ou des nouveaux-nés : soit adverbial et modifie la forme verbale (PP), soit adjectif d’une forme substantivée (nés)

Des fenêtres large ouvertes  : oui ou des fenêtres larges ouvertes : je ne trouve pas logique, larges ne peut être considéré comme se rapportant à fenêtres ou alors on dirait : de larges fenêtres ouvertes

Synthèse : dans presque tous les cas, la possibilité de choisir entre un accord ou pas de la forme dite adverbiale, tient au fait que précisément, le mot est considéré soit comme adverbe et donc invariable, soit comme adjectif attribut et donc variable.
Ce n’est pas vrai pour large/larges , ni pour tout/toutes, qui ne répondent pas à cette logique.

On a bien tout livré.

Bien est adverbe qui modifie avoir livré. Il doit se placer juste après l’auxiliaire.
elle a toujours tout compris – ils ont évidemment tout acheté – et non : elle a tout toujours compris – ils ont tout évidemment acheté

Tu n’y as porté aucun intérêt.
Le sujet est « tu » – « y » est COI = tu n’as porté aucun intérêt à cela

 Si vous me permettiez d’enquêter, j’aurais du mal à déterminer s’il y a eu fraude.
Oui, le passé composé est correct ; il est inclus dans une interrogative indirecte et c’est toujours l’indicatif qui convient en ce cas. Le mode indicatif est le mode du réel c’est sur cette réalité que porte la question.
Dis-moi s’il pleut (et non s’il pleuve).

Si vous me permettiez d’enquêter, je douterais qu’il y ait eu fraude. Ici le fait « y avoir fraude » n’est pas traité comme un fait réel mais comme une conception abstraite : il faut le subjonctif

Pour un témoignage je préfèrerais « élogieux » à « louangeur », mais je pense que c’est parce que le premier est davantage employé que le second.

J’ai répondu sur votre autre message.