On peut utiliser l’une ou l’autre forme avec des sens différents.
Merci de nous rappeler peut déjà signifier deux choses :
–  la personne nous rappelle et on la remercie
– on invite la personne à nous rappeler dans le futur–> merci de nous rappeler dans un mois.
Merci de nous avoir rappelé  : le fait de rappeler est toujours antérieur au remerciement. Cela peut être l’instant d’avant (et la personne est toujours en communication), cela peut être dans un passé plus ou moins lointain .

Il me semble (mais je ne suis pas une spécialiste) qu’on a la même ambiguïté en anglais et que dans thanks for reaching out reaching peut faire référence à une action présente ou passée.

– J’ai fait erreur : il faut une virgule.
– il vaut mieux présenter d’abord votre situation actuelle pour plus de clarté.
– le recteur étant votre supérieur hiérarchique il est habituel de lui assurer votre dévouement. c’est une formule codifiée.
– la phrase est claire; sa longueur normale.

Je postulerai (s) de nouveau le cas échéant

Si le sujet était « il », diriez-vous :
Il postulerait de nouveau le cas échéant ou il postulera de nouveau le cas échéant ?
On peut dire l’un ou l’autre mais il y a une nuance. Avec le conditionnel, « postuler » est une possibilité, avec l’indicatif, le fait de postuler est une certitude.

Je vous propose ceci :

J’ai l’honneur de solliciter de votre  bienveillance l’examen de ma demande de détachement au sein de l’académie de Mayotte.
      Je suis actuellement fonctionnaire titulaire rattaché au ministère de l’Intérieur et des Outre-mer.
     Ma candidature ayant été retenue pour rejoindre vos effectifs en qualité d’assistant au pôle sport de la DRAJES localisée à Mamoudzou. je vous demande  de bien vouloir accepter mon détachement au sein de votre administration.

     Je vous remercie de l’attention que vous aurez bien voulu porter à c courrier et vous prie d’agréer , Monsieur le Recteur,  mes respects et l’assurance de mon entier dévouement.

Vous avez raison : il gagne beaucoup en efficacité et en pérennité
« Gagner en » est une locution verbale qui signifie acquérir un avantage  et son sens est très différent de « gagner » quelque chose. On ne peut pas donner deux sens différents à un même verbe en même temps.

La BDL :
Le pronom en[…]remplace un complément introduit par de représentant le plus souvent une chose ou un animal; il est toutefois admis que en représente une personne.
Mes deux enfants, j’en suis très fier. (En remplace un complément de l’adjectif : Je suis très fier de mes deux enfants.)
—
Mes deux enfants, j’en suis fier : complément de l’adjectif
J’en suis le fils : complément du nom

Concernant les verbes transitifs indirects introduits par « de, certains verbes en tous cas,  acceptent la pronominalisation avec « en » pour les animés :
au sujet d’une personne : souviens-toi, je t’en ai parlé/je t’ai parlé de lui-
De son père : il en est dépendant /il est dépendant de lui
Du petit, il s’en occupe très bien/ il s’occupe très bien de lui.
Ses camarades s’en moquent constamment/se moquent de lui
Il ne l’aime pas, il s’en sert et c’est tout/il se sert de lui

L’usage de « en » est sans doute d’un usage moins soutenu mais il est très fréquent, à l’oral surtout.

Bonsoir Cocojade  !
L’expression « avoir la vie dure » signifie  selon le TLF ne pas mourir vite, résister à ce qui provoque la mort. Les chats ont la vie dure.
[…]
Par extension et au figuré [Le sujet désigne une chose concrète ou abstraite] Persister, durer malgré tous les obstacles, être vivace, tenace, traverser le temps, malgré les tentatives de destruction; être difficile à détruire.
[…]
Tu ne peux pas savoir comme ça a la vie dure, une idée, comme ça doit être plus difficile à détruire qu’un homme
Les incorrections, celles du moins qui ont la vie dure et résistent aux vitupérations du purisme
—-
L’expression a donc un sens très différent de : avoir une vie dure. ou « dure » signifie « difficile »
dans la formulation avoir la vie dure, dure  signifie solide, robuste

—–
« Avoir la peau dure » signifie selon le TLF être endurci, physiquement et moralement, être devenu insensible, ou ne pas être susceptible.
Je pense qu’il n’eût pas été au désespoir d’être sévèrement remis à sa place : ces gens hasardeux ont la peau dure
Je puis vivre seul, car j’ai la peau dure.

Ici « dur » a le sens de solide, résistant car endurci—-
Les habitudes ont la vie dure = les habitude ne se laissent pas détruire facilement, elles sont solides/
On ne dirait pas qu’elles ont la peau dure car elles ne sont pas endurcies : l’expression convient à un animé à cause certainement de la présence du mot « peau ».
—-
Je viens ajouter quelque chose : on peut quand même formulerles habitudes ont la peau dure. En effet, l’expression peut être employée métaphoriquement (à la puissance 2 si on peut dire).

Les adhérents n’ayant pas leur bon ne pourront pas assister à la représentation : oui la phrase est correcte.
On peut aussi utiliser une proposition relative : Les adhérents qui n’ont pas leur bon ne pourront pas assister à la représentation

Cela tient au sens de « avoir l’air »
L’expression n’est pas complètement figée. Elle ne signifie pas toujours « sembler », « paraître.
« Air » peut parfois garder le sens  de apparence, comportement, attitude extérieure d’une personne (maintien, expression des traits …) TLF. Parfois, c’est à dire quand il s’agit de personnes, évidemment pas d’une pore ; pas non plus lorsque l’adjectif ne peut pas se rapporter à lui.
Une poire n’a pas de comportement.
Un air ne peut être ni enceint ni bossu.

C’est pourquoi on peut dire : cette femme a l’air heureuse/heureux (l’expression, le comportement, l’air de la personne peuvent être qualifiés d’heureux.
On ne peut pas dire : cette femme a l’air enceint car ici « avoir l’air » est la locution verbale qui signifie « sembler ».

– Conscient que ses origines dans une Amérique ségrégationniste serait un handicap, il s’évertua à mettre en avant ses racines indiennes qu’il avança dans un premier temps comme étant cherokee.
-«C’est la nation kainah qui fit de lui un membre d’honneur de leur Confédération par suite des positions qu’il prit à travers ses écrits.

Tous ces verbes sont au passé simple de l’indicatif.
Pour vous assurer qu’ils ne sont pas au subjonctif, transposez les phrases au présent (ce qui lèvera l’homonymie) :
– Conscient que ses origines dans une Amérique ségrégationniste serait un handicap, il s’évertue à mettre en avant ses racines indiennes qu’il avance dans un premier temps comme étant cherokee.
-«C’est la nation kainah qui fait (et non « fasse ») de lui un membre d’honneur de leur Confédération par suite des positions qu’il prend (et non « prenne ») à travers ses écrits.

Attention de ne pas imaginer que le subjonctif se place automatiquement après un « que ».
Que n’est pas toujours le même mot. Il peut être :
– outil du subjonctif (une conjonction) : Qu‘il se taise ou qu‘il sorte. > c’est le seul cas où suit invariablement un subjonctif
Pour les autres que , suivra un ou l’autre mode (indicatif, conditionnel ou subjonctif) selon les cas.
– pronom relatif : Les arbres que j’ai plantés se développent bien. (que reprend arbres)
– conjonction de subordination : Je pense qu‘il vaut mieux rentrer.
– adverbe exclamatif : Que cet enfant est beau !
– pronom interrogatif : Que me dites-vous ?
—-
Pour vous aider :
– ne cherchez pas à utiliser l’imparfait du subjonctif dans votre récit. Ce temps est désuet et on le remplace couramment par le subjonctif présent (c’est admis).
– L’emploi du subjonctif ne peut pas être mécanique. Il faut savoir que l’indicatif est le mode du réel, le conditionnel le mode de l’irréel.
Le subjonctif, pour simplifier, est le mode de la pensée , de faits non considérés comme des informations mais comme des projections ou sujets de la pensée. Quelques exemples  : il veut qu’on le prenne au sérieux – Qu’elle se mette en avant ne lui plaît pas – Il n’y a personne qui veuille m’aider.