à noter : on attribue qqc à quelqu’un pas à un poste
Oui en effet, vous pouvez ajouter « celle de » .
Mais aussi employer le substantif correspondant :
Ce poste comporte  des fonctions comme l’exécution  des actes…
mieux :
Ce poste comporte plusieurs fonctions, notamment l’exécution

Cette analyse rend possible de synthétiser et de mettre à jour (…)

Oui. Surtout dans le premier exemple, le singulier est signifiant parce qu’il s’oppose aux pluriels des objets que chaque personne possède en double.

Mais je n’utiliserais pas non plus le pluriel dans votre deuxième exemple. Il vaut mieux réserver le pluriel quand l’élément possédé est en plusieurs exemplaires pour chaque possesseur.

C’est une coutume et expres­sion surannée.
Expression et coutume désignent la même réalité. L’adjectif reste au singulier.

Comme il eût eu envie de le sermonner s’il avait mieux maîtrisé la langue.
Il eût été, peut-être sans en être certain, moins hautain.

Dans les deux cas « il eût eu « et « il eût été » « peuvent être remplacés par un conditionnel passé (c’est un conditionnel passé deuxième forme et non un passé antérieur) :  il faut donc l’accent circonflexe. >> expression de l’hypothèse.
> comme il aurait eu envie de le sermonner si…
> Il aurait été, peut-être,….
Remarque :  la première phrase : l’hypothèse s’exprimant dans la subordonnée on ne peut avoir qu’un conditionnel passé 2e forme dans la principale (« eut » seul = passé simple est impossible)
comme il eût eu = cond. passé 2ème forme

Pour voir la différence il faut
– transposer au singulier :
J’ai pris des vacances  cet été>> j’ai pris un congé  et non du congé
Elle a des robes dans son armoire >> elle a une robe et non elle a de la robe

–  un contexte avec « des » pour déterminer s’il s’agit d’une partie d’un ensemble ou d’un pluriel.
J’ai goûté des/à des gâteaux de cette boîte >> j’ai goûté (à) de la pâtisserie de cette boîte.
J’ai pris des gâteaux de cette boîte pour les donner au petit >> j’ai pris un gâteau… pour le donner…

Le musée Rodin est l’un des rares musées à avoir été créés par l’artiste lui-même.
Que Rodin ait ou non créé plusieurs musées n’a aucune implication dans cette phrase.
« L’artiste » ne renvoie pas à Rodin : il s’agit d’un singulier générique qui signifie tous les artistes ou n’importe quel artiste.
Ce que dit la phrase est que rares sont les artistes qui ont créé  un musée à leur nom et que c’est le cas pour le musée Rodin.

Il faut lire la phrase ainsi :
Le musée Rodin est l’un des rares musées qui ont été créés par l’artiste lui-même.
Et non
Le musée Rodin est l’un des rares musées qui a été créé par l’artiste lui-même.
Sinon il y aurait la précision : contrairement aux autres musées consacrés à l’artiste Rodin (de plus, il n’y en a qu’un).

En fait ce serait plutôt « ces » qui s’accorde avec « voitures ». Il vaut mieux dire que, le nom « voitures » étant accompagné d’un déterminant pluriel, il est forcément au pluriel.
Une de ces voitures signifie : une voiture parmi ces voitures.

S’il faut : on fait l’élision.

C’est la France qui avait défini ses conditions.   C’était la France qui avait défini…
C’est lui qui dut célébrer la messe      Ce fut lui qui dut…       C’était lui qui dut…

– Il n’est pas possible de trancher si oui ou non le présentatif se met au passé.
Si on veut se référer à la situation d’énonciation du narrateur supposé en train d’écrire le récit on choisit le présent « c’est » (celui du narrateur) , si on se réfère à la situation dans laquelle est ancrée le récit on emploie le passé (c’était/ce fut).

–  pour ce qui concerne le choix entre imparfait et passé simple : en général le présentatif prend l’aspect du verbe qui suit.
Le passé simple pour une vision globale de l’action (aspect non sécant)
L’imparfait pour se situer dans le déroulement de l’action (aspect sécant)
Ce fut lui qui dut se lever pour accueillir…
C‘était lui qui devait/avait dû se lever…
—-
C’était son sport favori(,) que de critiquer ses voisins.. /c’était son sport favori de critiquer ses voisins.
– On emploie en effet cette image du « sport favori » pour qualifier une habitude souvent pas très bienveillante.

Je préfèrerais formuler ainsi (le pronom celle-ci/celle-là  étant un peu lourd ici)  :
Le Défenseur des droits constate,  dans l’accompagnement sanitaire de la personne âgée, certaines défaillances  qui concernent principalement la coordination des soins

Je saurai mettre en œuvre mes projets.
Je saurai est le futur du verbe savoir. Au présent : je sais mettre en œuvre mes projets.
Je serai est le futur qu verbe être. Au présent : je suis…