Il ne s’agit pas là d’orthographe mais de sens.
Il a développé la réponse de chacune des questions. : on comprend très bien qu’il y a une réponse pour chaque question.
Il a développé les réponses de chacune des questions. : On comprend ici qu’il y a plusieurs réponses pour chaque question.

A vous de choisir selon le sens à donner, donc.

Combien de femmes vous ont aimés ?
Je vous ai protégés.

La même règle s’applique aux deux participes.
Auxiliaire avoir – l’accord se fait avec le COD s’il est placé avant.
C’est le cas pour 1  : « vous » est COD – c’est le cas pour 2 : « vous » est COD.
Les deux pronoms « vous » étant au masculin et au pluriel >> aiméS et protégéS

Oui. Ici, vous pourriez remplacer le Sud par le Midi, voire la Provence.

Proposer et agir ont été les maîtres-mots qui m’ont guidée dans mes projets

Auxiliaire avoir : on cherche le COD. Il y en a un : « me » qui, apparemment est féminin – il est placé avant : l’accord du participe passé se fait avec lui.
Maîtres-mots est sujet et n’entre pas en ligne d compte pour l’accord.

Vous pouvez accorder avec le collectif ou avec le complément du nom selon que vous vous focalisé sur l’un ou l’autre.
C’est le sens qui doit vous guide. Ici ce qui est végan, ce sont les soins, pas l’intégralité.
Le sens est : tous les soins sont végans.

Le tiret se met entre le verbe et le pronom mais jamais entre le verbe et le nom.
Où est-elle ? Quand partez-vous ?  Que mange-t-il ?
Le sujet pronom est toujours inversé.
Mais :
Où est Pierre ? Que mange Pierre ?
Quand Pierre part-il?  – Pourquoi Pierre part-il ?  on ne peut pas, avec certains mots interrogatifs inverser le nom sujet, alors on le reprend par un pronom, inversé + tiret.

Je ne vois pas bien comment vous expliquer la chose. Cela relève de l’usage.

On peut utiliser l’une ou l’autre forme avec des sens différents.
Merci de nous rappeler peut déjà signifier deux choses :
–  la personne nous rappelle et on la remercie
– on invite la personne à nous rappeler dans le futur–> merci de nous rappeler dans un mois.
Merci de nous avoir rappelé  : le fait de rappeler est toujours antérieur au remerciement. Cela peut être l’instant d’avant (et la personne est toujours en communication), cela peut être dans un passé plus ou moins lointain .

Il me semble (mais je ne suis pas une spécialiste) qu’on a la même ambiguïté en anglais et que dans thanks for reaching out reaching peut faire référence à une action présente ou passée.

– J’ai fait erreur : il faut une virgule.
– il vaut mieux présenter d’abord votre situation actuelle pour plus de clarté.
– le recteur étant votre supérieur hiérarchique il est habituel de lui assurer votre dévouement. c’est une formule codifiée.
– la phrase est claire; sa longueur normale.

Je postulerai (s) de nouveau le cas échéant

Si le sujet était « il », diriez-vous :
Il postulerait de nouveau le cas échéant ou il postulera de nouveau le cas échéant ?
On peut dire l’un ou l’autre mais il y a une nuance. Avec le conditionnel, « postuler » est une possibilité, avec l’indicatif, le fait de postuler est une certitude.

Je vous propose ceci :

J’ai l’honneur de solliciter de votre  bienveillance l’examen de ma demande de détachement au sein de l’académie de Mayotte.
      Je suis actuellement fonctionnaire titulaire rattaché au ministère de l’Intérieur et des Outre-mer.
     Ma candidature ayant été retenue pour rejoindre vos effectifs en qualité d’assistant au pôle sport de la DRAJES localisée à Mamoudzou. je vous demande  de bien vouloir accepter mon détachement au sein de votre administration.

     Je vous remercie de l’attention que vous aurez bien voulu porter à c courrier et vous prie d’agréer , Monsieur le Recteur,  mes respects et l’assurance de mon entier dévouement.