Je vous donne une référence « officielle » – le Dictionnaire du patois saintongeais – et sinon on trouve pas mal de sources sur lesquelles il est indiqué since / sincer = serpillière / passer la serpillière.

Et même une jolie carte avec la région où ce terme est usité (ainsi que les autres variations régionales).

Hmmm, je ne trouve pas trace de cette tournure. Est-elle extraite du même texte que le « stipuler de + infinitif » ? L’auteur est-il étranger ? Francophone natif ?

On pourrait avoir une forme impersonnelle : Il est attendu d’elle qu’elle se conforme…

Stipuler est un verbe transitif direct. En principe les compléments des verbes transitifs direct sont (par définition) construits directement. Exceptionnellement, certains verbes transitifs ont leur complément infinitif précédé d’un de qui n’est pas une préposition mais un marqueur d’infinitif (dit aussi indice d’infinitif ou encore introducteur d’infinitif).
Ces verbes sont en nombre limité et, sauf erreur de ma part, stipuler n’en fait pas partie. En principe le Tlfi indique pour chacun de ces verbes cette construction atypique, il n’en est pas fait mention pour stipuler. 
Il n’apparait pas non plus dans cette liste.

En partant de votre deuxième phrase pour laquelle la présence de ne est impossible, on peut peut-être supposer que dans les versions dépourvues de ne apparent (alors qu’il est possible), celui-ci est tout de même présent de façon sous-jacente (par ellipse).

Prenons donc votre deuxième phrase en la modifiant un peu (juste parce que l’indépendance de pas loin est plus perceptible, me semble-t-il) :
Pas loin de la ville, je connais d’excellents producteurs.

Je pense que l’on peut dire que cet énoncé équivaut à Dans un endroit qui n’est pas loin de la ville, je connais d’excellents producteurs, et qu’on retrouve le même phénomène dans :
Il vit [dans un endroit qui n’est] pas loin de chez ses parents ou dans La ferme se situe [dans  un endroit qui n’est] pas loin du château.

Alors, on voit qu’on ne dit pas exactement la même chose, avec : Il ne vit pas loin de chez ses parents, on nie Il vit loin de chez ses parents ;
alors qu’avec Il vit pas loin de chez ses parents, on affirme que son domicile n’est pas éloigné de celui de ses parents.

Dans le premier cas, la négation porte sur vivre (sur le sujet finalement : Il (ne) vit (pas) loin), dans le second sur le lieu (le domicile est situé loin / n’est pas situé loin).

Et donc pour répondre à vos deux questions : il est proscrit en l’absence de verbe, et en présence il est facultatif, mais avec une nuance de sens.

Le participe a quatre temps : le présent, le passé, le présent (ou le passé)* composé et le surcomposé.
Ayant chanté = temps participe (présent ou passé)* composé / mode impersonnel / voix active **.

Extraits de Grevisse (paragraphes 768 et 769 – 14e édition)  :

* Les deux dénominations ont cours.
** La voix passive serait : Ayant été chanté(e)(s).

Imposer est un verbe transitif (bi-transitif pour être exact), il se construit avec un COD et un COI :

On impose quelque chose (COD) à quelqu’un (COI).

L’infinitif est parfois précédé d’un de, qui n’est pas une préposition (comme ce serait le cas d’un infinitif COI) mais un marqueur d’infinitif (voir par exemple cet article).

Donc dans  imposer à quelqu’un de faire quelque chose, on a :

à quelqu’un = COI.
de faire quelque chose = COD.

Si vous pronominalisez le complément infinitif COD, vous utiliserez le pronom le qui est bien un pronom COD et non le pronom en qui est COI (je reprends un exemple donné dans l’article que j’ai cité supra) :

Il rêve de partir > Il en rêve. Ici de est une préposition et de partir un COI.
Il envisage de partir > Il l’envisage. Ici, de est un marqueur d’infinitif et de partir un COD.

Et donc avec imposer : Il a imposé à Marc de partir > Il l’a imposé à Marc et non Il en a imposé à Marc.

Les deux constructions sont possibles et correctes.
(Dans Larousse)

Si on parle d’une seule mère, c’est bien sûr le singulier qui convient :  Il n’y a que leur mère qui travaille (dans cette fratrie).

Si on parle de plusieurs mère, le singulier et le pluriel sont possibles :

Il n’y a que leur mère = dans ces différentes familles, seule la mère travaille.
Il n’y a que leurs mères = les mères de ces différentes familles sont les seules à travailler.

Le problème avec le singulier, c’est qu’il va entrainer un accord sylleptique : l’antécédent est au singulier (leur mère), le pronom relatif (qui) et donc le verbe dont il est le sujet au pluriel :
Il n’y a que leur mère qui travaillent.

Il est donc préférable d’opter pour le pluriel :
Il n’y a que leurs mères qui travaillent.

Si vous optez pour le singulier, il faut répéter le déterminant, sinon 3e et 5e qualifient une seule participation, ce qui n’a pas de sens. Donc :
... leur 3e et leur 5e participation.

Si vous optez pour le pluriel, votre formulation est correcte.

(Par rapport à la remarque de Bruno, et pour reprendre l’exemple classique du chapeau, Les hommes déposent leur chapeau* peut certes signifier qu’il y a un seul chapeau commun à ces trois hommes, et qu’ils le tiennent chacun  à un bout pour le déposer ensemble, mais il  est nettement plus probable que chacun de ces hommes ait son propre chapeau.

* L’accord au singulier est dit distributif, il n’exclut pas l’accord au pluriel : Les hommes déposent leurs chapeaux, qui est dit collectif.)

1 – Pour le baume au cœur, c’est intéressant : le choix de la préposition va dépendre de la façon dont on analyse cette locution.

– Soit on la comprend globalement comme un tout non analysable, auquel cas on peut en effet substituer un substantif unique baume au cœur = réconfort, consolation. Alors, la locution verbale donner / mettre du baume au cœur à quelqu’un, s’analyse de la façon suivante :

Donner / Mettre [du baume au cœur] (COD) [à quelqu’un] (COI) = Donner [du réconfort] [à quelqu’un].

– Soit on estime que cette locution ne forme pas un tout, et donc qu’elle est analysable, dès lors la place de COI étant occupée par au cœur, elle n’est plus disponible pour quelqu’un qui ne peut qu’être complément du nom cœur :

Donner / Mettre [du baume] (COD) [au cœur de quelqu’un] (COI* ; avec de quelqu’un cdn cœur).

2 – Pour remettre les idées en place à/de quelqu’un, c’est en effet la même logique, cependant Ce drame aura contribué à remettre les idées en place de ce garçon est absolument incorrect : il est impossible de séparer un complément du nom du nom qu’il complète par un complément de verbe.

Remettre [les idées en place] (COD) [à quelqu’un] (COI).
Remettre [les idées de quelqu’un] (COD) [en place] (COI)*

* ou complément (essentiel) de verbe locatif/de lieu (selon les auteurs).