Le participe a quatre temps : le présent, le passé, le présent (ou le passé)* composé et le surcomposé.
Ayant chanté = temps participe (présent ou passé)* composé / mode impersonnel / voix active **.

Extraits de Grevisse (paragraphes 768 et 769 – 14e édition)  :

* Les deux dénominations ont cours.
** La voix passive serait : Ayant été chanté(e)(s).

Imposer est un verbe transitif (bi-transitif pour être exact), il se construit avec un COD et un COI :

On impose quelque chose (COD) à quelqu’un (COI).

L’infinitif est parfois précédé d’un de, qui n’est pas une préposition (comme ce serait le cas d’un infinitif COI) mais un marqueur d’infinitif (voir par exemple cet article).

Donc dans  imposer à quelqu’un de faire quelque chose, on a :

à quelqu’un = COI.
de faire quelque chose = COD.

Si vous pronominalisez le complément infinitif COD, vous utiliserez le pronom le qui est bien un pronom COD et non le pronom en qui est COI (je reprends un exemple donné dans l’article que j’ai cité supra) :

Il rêve de partir > Il en rêve. Ici de est une préposition et de partir un COI.
Il envisage de partir > Il l’envisage. Ici, de est un marqueur d’infinitif et de partir un COD.

Et donc avec imposer : Il a imposé à Marc de partir > Il l’a imposé à Marc et non Il en a imposé à Marc.

Les deux constructions sont possibles et correctes.
(Dans Larousse)

Si on parle d’une seule mère, c’est bien sûr le singulier qui convient :  Il n’y a que leur mère qui travaille (dans cette fratrie).

Si on parle de plusieurs mère, le singulier et le pluriel sont possibles :

Il n’y a que leur mère = dans ces différentes familles, seule la mère travaille.
Il n’y a que leurs mères = les mères de ces différentes familles sont les seules à travailler.

Le problème avec le singulier, c’est qu’il va entrainer un accord sylleptique : l’antécédent est au singulier (leur mère), le pronom relatif (qui) et donc le verbe dont il est le sujet au pluriel :
Il n’y a que leur mère qui travaillent.

Il est donc préférable d’opter pour le pluriel :
Il n’y a que leurs mères qui travaillent.

Si vous optez pour le singulier, il faut répéter le déterminant, sinon 3e et 5e qualifient une seule participation, ce qui n’a pas de sens. Donc :
... leur 3e et leur 5e participation.

Si vous optez pour le pluriel, votre formulation est correcte.

(Par rapport à la remarque de Bruno, et pour reprendre l’exemple classique du chapeau, Les hommes déposent leur chapeau* peut certes signifier qu’il y a un seul chapeau commun à ces trois hommes, et qu’ils le tiennent chacun  à un bout pour le déposer ensemble, mais il  est nettement plus probable que chacun de ces hommes ait son propre chapeau.

* L’accord au singulier est dit distributif, il n’exclut pas l’accord au pluriel : Les hommes déposent leurs chapeaux, qui est dit collectif.)

1 – Pour le baume au cœur, c’est intéressant : le choix de la préposition va dépendre de la façon dont on analyse cette locution.

– Soit on la comprend globalement comme un tout non analysable, auquel cas on peut en effet substituer un substantif unique baume au cœur = réconfort, consolation. Alors, la locution verbale donner / mettre du baume au cœur à quelqu’un, s’analyse de la façon suivante :

Donner / Mettre [du baume au cœur] (COD) [à quelqu’un] (COI) = Donner [du réconfort] [à quelqu’un].

– Soit on estime que cette locution ne forme pas un tout, et donc qu’elle est analysable, dès lors la place de COI étant occupée par au cœur, elle n’est plus disponible pour quelqu’un qui ne peut qu’être complément du nom cœur :

Donner / Mettre [du baume] (COD) [au cœur de quelqu’un] (COI* ; avec de quelqu’un cdn cœur).

2 – Pour remettre les idées en place à/de quelqu’un, c’est en effet la même logique, cependant Ce drame aura contribué à remettre les idées en place de ce garçon est absolument incorrect : il est impossible de séparer un complément du nom du nom qu’il complète par un complément de verbe.

Remettre [les idées en place] (COD) [à quelqu’un] (COI).
Remettre [les idées de quelqu’un] (COD) [en place] (COI)*

* ou complément (essentiel) de verbe locatif/de lieu (selon les auteurs).

Ici, de n’est pas une préposition, mais un article. Ce qui est normal en français (contemporain), c’est que le substantif soit précédé d’un déterminant. Il y a des cas qui dérogent à cette norme, mais ne pas avoir de n’en fait pas partie (voir par exemple cet article).
D’ailleurs, à la forme affirmative, ça gratte pas mal à l’oreille, non ? J’ai autre(s) choix – il faut bien sûr se méfier des grattages d’oreille, mais il ne faut pas non plus les négliger.
Ça sonne ancien à vos oreilles, parce qu’en effet, en ancien français, et dans une moindre mesure en français moderne, le déterminant était moins systématique qu’en français contemporain.

Oui, ici, c’est bien le timbre qui est qualifié : soit le haut-parleur vibre de cette voix aigüe (=une voix dont le timbre est aigu) ; soit le haut-parleur vibre de ce timbre de voix aigu.

Je l’ai senti fatigué, c’est en effet très bien. Cependant, il est tout à fait possible d’utiliser dans le cas présent la locution avoir l’air, puisqu’elle peut être comprise aussi bien de façon analytique = son air (son expression faciale) est fatigué, que de façon synthétique = sembler.

1. Ici, je vois difficilement deux synonymes, je vois plutôt une cause (la terrible vision) et une conséquence (le sentiment d’effroi), mais il manque un peu de contexte pour se faire une idée valable. Je ne vois pas non plus de gradation. Pour finir, je ne suis pas certain que décontenancé soit très approprié, ça me semble faible au regard de la terrible vision et du sentiment d’effroi.
Je vois donc que la personne est décontenancée d’abord par la vision, puis par le sentiment d’effroi > deux sujets, donc verbe au pluriel.

2. Je ne suis guère spécialiste en matière d’armes, j’aurais tendance à dire qu’il n’y a pas gradation de la lance à l’épée, mais je fais peut-être erreur. Donc, soit il y a gradation, et alors le singulier est préférable, mais le pluriel reste correct ; soit il n’y a pas gradation, et alors le verbe se met au pluriel.

3.  Que voulez-vous dire ? Que « il » souhaite faire une demande à « elle » ? Autrement lui adresser, lui soumettre, lui  présenter une requête ? Si c’est bien de ça qu’il s’agit, je ne crois pas que cette préposition soit possible, c’est à qui convient.