On écrit presque toujours DES.
J’ai vu DES filles.
J’ai vu DES filles brunes.
J’ai vu DES petites filles.
Dans aucun de ces cas on ne peut remplacer DES par DE.
Parfois, dans le cas où l’adjectif précède le nom (comme petites filles), et si d’autres conditions sont réunies, il est possible de mettre DE à la place de DES. C’est très compliqué. Il ne s’agit pas simplement de supprimer un S pour faire élégant. Il s’agit grammaticalement de faire porter le déterminant du substantif par l’adjectif au lieu de le faire porter par l’article.
Si vous ne connaissez pas tous ces cas, écrivez toujours DES.

La notion de déterminant doit être envisagée globalement, selon la présence d’un article déterminé, d’un démonstratif, d’un adjectif, d’un complément contextualisant, d’une relative déterminative…
En principe, en français, il faut des déterminants à tous les noms communs sujets d’une phrase.
Ce chat miaule.
Le chat miaule. (celui dont on parle)
Le chat miaule. (utilisation générique possible de l’article défini singulier pour désigner la totalité d’un groupe, tous les chats)
Un chat affamé miaule. (tous les chats affamés)
Un chat sur trois miaule.
Un chat qui a faim miaule.
On voit que si vous n’avez ni démonstratif, ni article défini, ni adjectif, ni autre complément déterminant, et que vous mettez une relative, il faudra bien que cette relative soit déterminative.
L’article « un » doit être complété pour déterminer une chose (ou une catégorie de choses)… sinon on a le mot, mais pas encore le sens. [A la limite, on a son existence : un chat miaule = il existe un chat qui miaule.]
Donc oui, pour répondre à la question du titre, si un nom avec un article indéfini a une relative pour tout complément, cette relative est (presque) forcément déterminative.
Un nom avec un article indéfini, mais avec un autre déterminant, peut éventuellement accepter une relative qui ne soit qu’explicative (un chat affamé, dont on ne s’occupe pas, miaule).
Avec un article défini ou autre déterminant, la relative ne nécessite pas d’être déterminative, le mot est potentiellement déjà déterminé (ce chat, qui est noir, complément explicatif, est…). Elle peut l’être si les autres déterminations sont insuffisantes (seuls les chats noirs qui vivent en Bourgogne miaulent).

Dans votre exemple, vous oubliez d’intégrer à votre raisonnement la présence de l’adjectif « malade ».
* « Dans un hôpital, [virgule], où on ne soigne plus, les médecins… » n’est pas possible. Il faut un déterminant, et seule la relative peut en tenir lieu.
* « Dans un hôpital malade, où on ne soigne plus, les médecins… » est par contre tout-à-fait acceptable. L’adjectif « malade » suffit à déterminer l’hôpital, du moins sa catégorie, et « où on ne soigne plus » n’est qu’un complément dispensable. Il vous appartient de décider si cette relative est essentielle. Moi qui ne connais pas l’histoire, j’admettrais facilement à la lecture que la relative ne soit qu’un complément précisant en quoi consiste la maladie de cet hôpital, ou quelle en est la conséquence. Si vous pensez qu’il manque du sens, qu’une deuxième détermination est nécessaire, alors optez pour la déterminative et l’absence de virgule, mais syntaxiquement, la virgule est possible grâce à l’adjectif qui tient lieu (associé à l’article indéfini) de déterminant.

Enfin, puisque [article indéfini « un » + « hôpital » + adjectif déterminant « malade »] pour désigner un hôpital déjà bien identifié peut rester étonnant quand un simple « cet hôpital » aurait suffi en tenant compte des phrases précédentes, je propose cette explication.
* Cette situation est périlleuse (situation est déterminé par un démonstratif).
* Dans cette situation, il faut fuir. (idem)
* Dans une telle situation, il faut fuir. (situation est déterminé par un article indéfini et un adjectif déterminant, ensemble). On utilise ici l’article indéfini et l’adjectif déterminant ensemble pour montrer par quel biais la situation est déterminée. Elle pourrait être déterminée par un autre critère cité précédemment. En remplaçant « cette » par « une telle », non seulement nous parlons de la même, mais nous rappelons en même temps pourquoi.
« Cet (déterminant) hôpital, qui est malade (explicatif) » est utilement remplacé par « Un (article indéfini) hôpital malade (déterminant avec adjonction de sens explicatif) ».

Votre exemple abordait bien tout cela, et nous arrivons aux mêmes conclusions, je vous ai simplement proposé d’inscrire vos conclusions dans le cadre de règles de grammaire identifiées.

Avec « dans le cas où », l’indicatif est possible, avec un sens non pas hypothétique mais typologique, c’est de l’étude de cas : dans le cas où a est égal à b, on obtient x, mais dans le cas où a est égal à c, on obtient y. Tout à l’indicatif.

Avec un « dans le cas où » ou « au cas où » introduisant une hypothèse, utilisez plutôt le conditionnel. C’est d’ailleurs le seul mode admis par l’Académie française. Votre phrase se place clairement dans cette situation de l’hypothèse sur un cas particulier. Est-il éligible ? S’il est éligible, je vous adresse le document, sinon, je ne vous l’adresse pas.
Donc : « Dans le cas où l’éligibilité serait confirmée ».

Il n’y a pas d’obligation de conjuguer le verbe de la proposition principale identiquement à celui de sa subordonnée.
S’il venait, tu lui demanderais si… donne : Dans cas où il viendrait, tu lui demanderais si…
S’il vient, tu lui demanderas si… donne : Dans cas où il viendrait, tu lui demanderas si…
La concordance quasi obligatoire avec « si » ne se retrouve pas avec « dans le cas où », puisque l’indicatif imparfait et l’indicatif présent sont tous les deux remplacés par un conditionnel présent, mais que l’accord selon le sens reste possible dans la principale.
Dans votre exemple, on est dans le second cas (s’il est éligible, je vous adresserai…), donc futur, malgré le conditionnel de la subordonnée.

La réponse est donc :
« Dans le cas où l’éligibilité serait confirmée, je pourrai vous faire parvenir les documents. »

La difficulté qu’on a à se décider est sans doute due à vos excès de « pouvoir » et de conditionnels : « pourriez-vous me dire »… « je pourrais vous faire parvenir »… Admettons le premier « pourriez-vous » de politesse (mais alors supprimez le « s’il vous plaît »), mais pourquoi utiliser le verbe « pouvoir » pour ce qui est de « faire parvenir » ? C’est à votre correspondant de vous demander poliment « pourriez-vous me faire parvenir le document », et en réponse vous devez vous contenter d’un « je vous ferai parvenir ». Il ne vous demande pas vraiment si vous pouvez, c’est une figure de rhétorique.

Mon conseil :
« Si la personne est éligible, je vous ferai parvenir les documents ».

Si vous vouliez écrire « plusieurs femmes et un homme dirigent la société », alors on est d’accord.
Mais vous écrivez dans votre deuxième message : « plusieurs femmes et un homme ont saisi la société ». La question « qui a saisi » (réponse : plusieurs adhérents) n’importe pas ici. La seule question qui importe est « qui a été saisi » : « nous ».
Il faut accorder avec « nous ». Et c’est uniquement sur ce « nous » que vous devez décider de l’accord.
Comme présidente ou directrice, vous pouvez vous permettre le singulier féminin et signer de votre nom.
Si vous associez à votre réponse vos collaborateurs ou associés dont un homme, utilisez le masculin pluriel.

Accord avec le sujet :
Saisis de ce dossier, nous avons…
Saisie de ce dossier, notre entreprise a…

Le participe passé s’accorde comme un adjectif.
Il est ici en apposition, mais qu’importe, l’essentiel est qu’il s’accorde avec le nom, le pronom, auquel il se rapporte, qu’il qualifie.
Ayant été saisis par nos adhérents, nous…
Verte de peur, elle s’enfuit…

Si votre question portait sur le genre de ‘nous’, il est a priori dans un courrier neutre/masculin, il n’est absolument pas à mettre en rapport avec le mot ‘société’. Si vraiment les rédactrices du courrier tenaient à dire que la sociéte est exclusivement dirigée par des femmes, elles écriraient « saisies de ce dossier, nous avons… ».

Edit. Ajoutons le singulier possible évoqué par la réponse de Tony. Il est peu probable dans le cadre d’une société. J’envisagerais un nous de modestie possible pour le rédacteur d’un rapport, un nous de majesté pour la reine d’Angleterre, mais aucun des deux pour le secrétariat d’une entreprise.

Ce n’est absolument pas un exercice sur la ponctuation pour des enfants, c’est un exercice de typographie pour adultes voulant travailler chez un éditeur.
* Referme-t-on les guillemets dès la première ligne, avant le ‘demanda-t-il’, pour les rouvrir à la ligne suivante ? Actuellement les éditeurs ne le font plus, mais dans mes vieux livres, ils le faisaient. Quelle est la longueur de l’incise acceptable pour qu’on la conserve à l’intérieur des guillemets ?
* Comment se gère la rencontre du point d’interrogation et de la virgule ? C’est vrai, dit-il. / « Est-ce vrai ? », dit-il. / Est-ce vrai ? dit-il. / Est-ce vrai, dit-il. Et ce ‘dit’ au lieu de ‘demanda’ est un piège qui empêche de répondre correctement : doit-on omettre le point d’interrogation à cause du ‘dit-il’ ?
Il faut chercher un exercice ailleurs, celui-là ne convient absolument pas. Il pose plus de  problèmes de typographie que de ponctuation.

Exact. Les noms dérivés de verbes conjugués ne peuvent pas recevoir une marque de pluriel (‘on dit’ donne ‘des on-dit’), ce serait nier leur étymologie. Les noms dérivés de participes passés eux s’accordent (des non-dits).

Le français oublie l’étymologie de certains mots.
Les mots dérivés d’un infinitif prennent déjà le pluriel : des déjeuners, des êtres, sauf certains comme des pis-aller (on a gardé en tête le fait qu’il s’agit d’un verbe), plus ou moins invariables, ce n’est pas d’une logique absolue.
‘Ego’ veut dire ‘moi’, mais on voit ‘des egos’.
‘Cogito’ veut dire en latin ‘je pense’, mais en tant que théorie, on peut l’accorder : ‘des cogitos’.
On voit déjà « 100 likes sur Facebook », mais en ayant conscience de l’origine du mot, on maintient « 100 j’aime sur Facebook ».
Si on revient dans 100 ans et que « on-dit » ait perdu son trait d’union, il est probable qu’on commencera à l’accorder : des ondits.
Mais tant qu’on en comprend l’impossibilité, on n’accorde pas.

* Mettez un pluriel à ‘offert’, mais ça ne suffit pas.
* Mettez obligatoirement une espace (insécable) entre le montant en chiffres et le symbole de l’euro.
* Ne mettez pas de majuscules au nom commun ‘bac’.
* ‘Bon plan jeune diplômé’ : ‘jeune diplômé’ est un syntagme nominal que vous appliquez avec une valeur adjectivale (à vérifier) au nom ‘plan’ qui a par ailleurs déjà un adjectif antéposé en modifiant le sens. ‘Bon plan pour les jeunes diplômés’ ou ‘Plan jeune diplômé’ conviennent, mais la concurrence de deux adjectifs simultanés en fait perdre la hiérarchie (le bon plan, ok, le plan A, ok, mais le bon plan A, c’est quoi ?).
* Comment avez-vous choisi entre ‘plan jeune diplômé’ ou ‘plan jeunes diplômés’ ?
* Le ‘jusqu’à’ de votre phrase ne s’applique pas à ‘jeune diplômé’, sinon ce serait ‘jeunes diplômés jusqu’à 20 ans’ et non ‘jusqu’à 80 €’. Il s’applique donc à ‘bon plan’, et ‘bon plan jusqu’à 80 € offerts’ ne veut rien dire. Pour qu’il s’applique à la somme, ajoutez une rupture avec la ponctuation : ‘bon plan : jusqu’à 80 € offerts’.
* Mettez obligatoirement un déterminant au mot ‘mention’ (pour la mention bien, pour une mention bien) ; ‘pour mention’ n’est pas français.
Il y a plein de mots, comme les verbes, les prépositions et les déterminants qui jouent un rôle en français, on ne peut pas tous les supprimer ; la typographie et la ponctuation participent également au sens des phrases.

Pour la troisième, c’est « en ».
Je vois les (défini) choses. Je les vois.
Je vois des (indéfini) choses. J’en vois.
Le langage permet d’en instaurer.

0) Vocabulaire
* Apocope, troncation : « Viv » est bien un diminutif formé par apocope, mais s’agissant d’un prénom, il suffit de dire que c’est un diminutif (et je pense que les diminutifs ou autres mots formés pas apocope n’ont pas d’apostrophe finale, ce n’est qu’un choix d’écriture de votre part).
* Homonymie : ce n’est en fait qu’une homophonie entre le prénom « Viv' » et le mot « vive ».
* Figure de style : le résultat entendu « Vive la famille ! » a du sens, mais l’assemblage des mots de départ n’en a pas (il n’y a ni verbe ni autre rapport logique formel exprimé entre « Viv' » et « la famille »). Sans phrase cohérente, il ne faut pas chercher de figure de style grammaticale.
* Allusion : je suggère au point 2) que ce n’est pas une simple allusion, mais grammaticalement le coeur du titre.

1) Ce jeu de mots est-il un calembour ? Le fait de mélanger ou triturer des mots pour arriver à des homophonies s’appelle un calembour.
* « La chronique hebdomadaire de Samuel : Sam’ dit » est un excellent calembour, parce que deux sens coexistent, l’un dans la phrase, l’autre dans le nouveau mot formé à l’oral (samedi), et que les deux se complètent. L’apostrophe aide à comprendre immédiatement à la lecture qu’on lie deux mots, mais n’est pas obligatoire.
* « Festiv’Halles » est correct parce que ça peut être lu/entendu de deux façons différentes : une fête sous les halles ou un festival.
* « Salon de coiffure Diminu’Tif » est un calembour insuffisant, parce que les deux mots associés ont du sens, mais le nouveau mot formé (diminutif) n’a aucun rapport avec le contexte.
Il faut bien admettre que dans votre titre, non seulement on ne trouve pas deux sens superposés, mais on n’y trouve même pas le premier (qui serait peut-être « la famille de Viviane »). Vous avez le résultat, mais pas la phrase de départ, pas de double sens.
Nous sommes je pense ici dans ce que les grammairiens s’accordent généralement à classer dans la catégorie des « calembours-tout-pourris ».

2) L’impasse du 1) me fait renverser la logique de votre question, et considérer qu’il s’agit du titre « vive la famille » dans lequel on détournerait des sons et des lettres pour y cacher un mot. Je remplace donc votre analyse « un prénom qui joue avec l’allusion à un mot » par « un mot dans une phrase qui rappelle la sonorité ou la graphie d’un prénom ». Je pense que c’est de ce côté-là qu’il faut en fait chercher. On quitterait alors les domaines du sens et de la construction pour jouer sur des rappels de sonorité et de graphie. Ce n’est plus un jeu de mots grammatical, c’est un univers poétique et graphique. (Vive la famille. La vie vaut d’être vécue. En eaux vives… / Viv’ les vacances. La viv’ aut d’être vécue. En eaux viv’es… : à l’oral, on entend la phrase importante, et à l’écrit soit le graphisme (lettres viv en couleurs) soit l’apostrophe, apportera l’évidence du prénom intégré dans la phrase.
* Visuel : Le calligramme et l’acrostiche font partie de ces façons d’écrire qui ajoutent un complément visuel de sens à des phrases. Je trouve que cacher un prénom dans un titre se rapproche de ces procédés graphiques.
* Sonore : L’harmonie imitative ou l’assonnance font partie de ces méthodes apportant un complément sonore de sens à des phrases. Si c’est le son ‘viv’ qui vous intéresse, on peut chercher de ce côté.

Et donc, conclusion décevante, je n’ai aucune idée du mot que vous cherchez, j’ai juste tenté de montrer où il ne fallait pas le chercher.