Je n’ai pas la réponse, mais je vous offre cinq minutes de conversation.

C’est de la typographie et non de la grammaire. Typographie et grammaire sont des disciplines relativement indépendantes. La grammaire a des grands maîtres, la typographie a des écoles. Ces écoles de typographie sont en concurrence davantage que ne le sont les grammairiens. Le journal Le Monde est réputé être partisan du plus faible nombre possible de majuscules, les publicitaires aiment bien les majuscules, pour un éditeur de littérature il faut lui demander.

Mettons que nous voulions limiter le nombre de majuscules.
Le nom commun, composé ou non, ne prend généralement pas de majuscule : le sénateur, la grand-mère.
En tant que titre, on met une majuscule : Monsieur le Sénateur, bonjour Sénateur !
‘Grand-mère’ n’est pas un titre, on ne met pas de majuscule, ni avec un article, ni en apostrophe. On peut écrire la grand mère, bonjour grand-mère ! Le degré de nom propre contenu dans le mot ‘grand-mère’ est à considérer : bonjour grand-mère, bonjour mère-grand, bonjour mamie, bonjour mammy, bonjour Mammy, bonjour Mamité et Mamito, bonjour Grand-mère Donald (c’est son nom).
Dans votre conte, il n’y a pas ces familiarités, conservons les minuscules.
Pareil pour papa : Bonjour papa, bonjour père Eustache, bonjour père, bonjour mon père… les minuscules suffisent.
[personnellement, je déroge, je mets obligatoirement une majuscule quand j’écris à ma mère : bonjour Maman]
En dehors d’une apostrophe, souhaitez-vous vraiment utiliser ce mot sans article, en tant que nom propre ? Grand-mère Donald va au marché, le dimanche Mère-grand fait un gâteau… Alors le principe d’identification à une unique personne semble commander la majuscule, comme dans ‘le Général’.
Si c’est mis dans la bouche d’un enfant, ‘c’est vrai, papa m’a dit’, je crois que ce n’est pas un identifiant unique (ça l’est pourtant pour lui), mais que c’est comme ‘mon papa’, ce n’est qu’une relation.
Donc, si c’est « le Petit Chaperon rouge » (nous mettons maintenant une majuscule à l’adjectif placé avant le nom mais pas à l’adjectif placé après, comme nous l’allons voir tout-à l’heure) qui parle, je ne mettrais pas du tout de majuscule à ‘mère-grand’. Si c’est l’auteur qui parle et qui identifie de façon unique ce personnage sous le nom de ‘Mère-grand’, je mettrais une majuscule au moins au premier mot.

Voyons maintenant le cas de la majuscule, comment faire avec un nom composé ?
Pour les titres d’œuvre, vous savez peut-être qu’on met classiquement une majuscule au premier substantif, et également au premier adjectif s’il le précède (ce sont des règles modernes en usage dans les bibliothèques et cinémathèques, probablement aussi dans les universités et les journaux) : « La Belle Vie » / « La Vie rêvée ».
Pourquoi ne pas appliquer cette règle ? Voici Grand-Mère ! Voici Mère-grand !
Dans l’ordre de la Légion d’honneur, il y a des grands maîtres, sans tiret ni majuscule. Mais en tant que titre, on met deux majuscules.
Pour des noms composés avec tiret et adjectif après le nom, je n’ai pas trouvé d’exemple correspondant à notre problème.

Si c’est le nom donné par l’auteur, comme identifiant, j’écrirais ‘Mère-grand’. Si c’est le nom donné par l’enfant (comme vous l’écrivez), j’écrirais plutôt ‘mère-grand’. Le paragraphe suivant montre que le mot n’est de toute façon jamais utilisé sans déterminant chez Perrault, et donc toujours sans majuscule.

Cherchez d’autres critères en allant aux sources.
édition 1697 : « Il estoit une fois une petite fille de village, la plus jolie qu’on eut sçû voir ; sa mere en estoit folle, et sa mere-grand plus folle encore. Cette bonne femme luy fit faire un petit chaperon rouge, qui lui seïoit si bien que partout on l’appelloit le petit Chaperon rouge. »
édition 1902 : « Il était une fois une petite fille de village, la plus éveillée qu’on eût su voir : sa mère en était folle, et sa mère-grand plus folle encore. Cette bonne femme lui fit faire un petit chaperon rouge qui lui seyait si bien, que partout on l’appelait le petit Chaperon rouge. »
Dans ces deux éditions, ‘mère-grand’ est utilisé 14 fois, toujours avec un adjectif possessif ou un article, donc sans majuscule.

Si vous voulez traiter ce mot ancien d’une façon moderne, à vous d’assumer un choix après avoir listé vos critères.

Réponse au message 4 de Brad.
OK, je viens de lire votre commentaire, et dans l’esprit, on se rejoint.
Sauf que ce n’est pas un pléonasme. Cette justification étymologique de la proscription d’une expression a été créée a posteriori par une certaine classe sociale.
Et bien sûr que si, vous pouvez répondre point par point, c’est même là la base de l’argumentation.

Ce n’est pas une phrase. Si c’était une phrase, il y aurait un verbe, et une article devant le mot ‘service’. Si l’article est ‘le’, c’est du singulier, et si l’article  est ‘les’, c’est du pluriel.

Le mot principal n’a aucune raison de s’accorder avec son complément. Si c’est un service, c’est un service, au singulier.
La question se pose pour le complément, mais ouf, vous ne l’avez pas posée.

L’adjectif ‘précédent’ n’admet pas de complément.
C’était un mardi. Le jour précédent, le lundi, il y avait…
S’il y a un complément d’objet direct, c’est obligatoirement le verbe transitif ‘précéder’ au participe présent.
Le jour précédant le mardi est le lundi.
Donc ici, participe présent : ‘précédant’.

Réponse au message 3 de Brad.

J’ai évoqué ce sens « de nos jours » à la dernière ligne de mon premier message. C’est donc apparemment la seule ligne qui vous intéresse. Les autres lignes disent pourtant qu’on n’est pas obligé de retenir l’étymologie d’un mot pour l’utiliser, et qu’alors le pléonasme disparaît. J’ai tenté de montrer qu’on ne peut pas invoquer le pléonasme à la seule vue d’une juxtaposition de mots réputée incorrecte. L’argument du pléonasme n’est pas recevable : il y a eu d’abord une concaténation emportant un nouveau sens, puis une utilisation du ‘nouveau’ mot avec l’expression courante « au jour de ».
Le sens que j’ai développé ci-dessus de « au jour d’aujourd’hui » est « à ce jour », « à l’heure actuelle », « au moment où je vous parle », et ce sens me semble rigoureux.
Pour traiter votre question de l’extension de sens, l’argumentation doit donc porter sur le sens et l’utilisation de ce groupe de mots et non sur son origine : peut-on élargir le sens strict du syntagme pour en faire une expression signifiant « de nos jours » ?
Si « au jour d’aujourd’hui » signifie initialement comme je le suggère « à l’heure actuelle », alors pour en proscrire l’usage dans le sens élargi de « de nos jours », il faudrait le faire identiquement pour les deux formes.
Or dans cette interview, le futur académicien Valéry Giscard d’Estaing utilise 11 fois « à l’heure actuelle » dans le sens de « de nos jours » : http://discours.vie-publique.fr/notices/807010000.html.
Le problème est en fait sociologique. L’aristo s’empare d’expressions, puis quand le popu singe l’aristo, l’aristo se dessaisit de ses habitudes pour en prendre d’autres et quelques années plus tard raille leur usage par le popu, si possible en trouvant des justifications grammaticales qu’il n’avait pas vues quand elles étaient pourtant encore perceptibles. Quand l’ouvrier commencera à dire « à l’heure actuelle », le président utilisera une autre expression et raillera la première. La question du registre de langage est aussi une question de clivage. Ainsi, quand pour l’utilisation d’un mot, on hésite à la qualifier de pédante, ou au contraire à une autre époque de populaire, c’est probablement qu’on n’a pas cerné un problème grammatical. Dans les livres de référence, il y a un jugement de valeur de portée sociologique (familier, populaire…). En tenir compte ne consiste pas à estimer qu’on doit de préférence utiliser le langage châtié en cours, mais nous renseigne sur la façon dont notre tour sera entendu.

Pour résumer. Formellement, l’expression que vous nous présentez est valide. Son extension de sens est parallèle et donc tout aussi valide que celle de « à l’heure actuelle ». Et on doit se poser des questions sociologiques sur l’émetteur et le récepteur si on souhaite que le discours soit perçu conformément à son intention.

L’expression « au jour d’aujourd’hui » n’existe peut-être pas, ou peut-être est-elle abusive, mais l’utilisation de l’expression « au jour de » suivie d’un adverbe de temps est toujours possible.
« Aujourd’hui » s’étant affranchi de son étymologie, il est possible d’utiliser le mot comme on utilise « hier » (et c’est ce que nous faisons tous les jours). Quand un mot formé par concaténation est lexicalisé, on peut le traiter comme un mot simple, avec sa signification en usage.
On peut considérer « au jour d’aujourd’hui » comme familier quand utilisé sans nécessité, mais je l’entends le plus souvent dans un sens précis et rigoureux, très peu familier.
« Au jour de » permet de se placer dans le temps pour faire un point d’étape.
Dimanche, 50 cas en tout étaient dénombrés en France.
Hier lundi, nous avons dénombré 10 nouveaux cas.
Au jour d’hier, nous dénombrions donc 60 cas en tout.
Aujourd’hui mardi, nous avons dénombré 20 nouveaux cas.
Au jour d’aujourd’hui, nous dénombrons donc 80 cas en tout.
L’équivalent précis est « à ce jour » (« à l’heure actuelle », « au moment où je vous parle »).
Mais votre question portait peut-être sur le sens « de nos jours », et là je ne sais pas.

Réponse à la réponse à ma réponse au message 2 de Prince :
Bonjour, Je n’ai pas répondu que l’un était était correct et l’autre impropre. Emad1976 sait manifestement que les deux se disent puisque sa question est « quelle est la différence entre jouer et faire ? », j’ai pointé une différence possible :
Dans »cette année je vais faire du piano », on comprend « je me suis inscrit au cours de piano ».
Dans « ce soir je vais jouer du piano », on comprend « venez écouter mon récital de piano ».
On a peut-être besoin de spécialistes pour dire à l’occasion « cette formule est impropre », mais personnellement je le dirai jamais, je suis persuadé qu’il y a une raison, un registre, une histoire, une intention, une nuance, quand on utilise un mot et non un autre réputé plus classe.

Oui. « Il fait ces dessins. » « Il les fait. » Le verbe « faire » est conjugué au présent de l’indicatif, le cod « ces dessins », transformé en pronom « les », passe devant le verbe sans en changer la conjugaison.
Au passé composé avec l’auxiliaire ‘avoir’, se poserait la question de l’accord, non pas du verbe lui-même mais du participe passé : Il a fait ces dessins, il les a faits.

C’est difficile de conjuguer un verbe pour lui donner une valeur à la fois dans le passé et dans l’avenir.
Il y a une incohérence des temps dans les deux phrases de votre première proposition. Votre deuxième proposition ne concerne elle que le passé (et en plus elle est presque impolie, faisant des reproches au client).
Vous pouvez jouer avec des infinitifs, du présent de généralité, une tournure impersonnelle, la voix passive…
En cas de problème, il faut contacter la réception pour le résoudre.
Dans ces cas, les clients sont invités à s’adresser à la réception pour trouver une solution.
Dans ces cas, notre réglement stipule que le client peut s’adresser à la réception qui trouvera toujours une solution.
Vous pouvez ensuite embrayer au passé pour parler du cas concret : Le réceptionniste vous aurait proposé de…
Mais en fin de compte, le mieux est d’envoyer un chèque pour dédommager le client des désagréments subis.