L’Académie nous met en garde contre l’emploi du verbe « contacter » à la place de « entrer en contact / prendre contact ».
Voir ICI

L’agence n’est pas une personne, vous ne pouvez pas « lui » demander de reporter…
On demande à quelqu’un de faire quelque chose (et non pas « à »)
Mes suggestions :
Il a réussi à joindre la secrétaire de l’agence, pour lui demander de reporter son RDV
Il a réussi à joindre l’agence pour demander un report de son RDV / de faire reporter son RDV / qu’on reporte

« Il sera rassuré et moins stressé une fois qu’il aurait eu  tous ces papiers à deposer. »

Dans cette phrase, la concordance des temps n’est pas respectée, le conditionnel passé n’a rien à faire en face d’un futur de l’indicatif, et je suis bien d’accord avec vous, le futur antérieur de l’indicatif s’impose :
Il sera rassuré dès qu’il aura eu / obtenu tous ces papiers (qu’il doit déposer au bureau d’inscription)
Ou bien
Il ne serait rassuré que quand il les aurait obtenus.

En toute logique, si on voyage « en solitaire« , on est tout seul. Raison pour laquelle on n’accorde pas.
S’ils voyagent ensemble, ils sont plusieurs, au moins deux, et donc ils ne voyagent pas « en solitaires ».
S’ils voyagent en choisissant les endroits isolés, à l’écart des lieux touristiques, on peut peut-être dire qu’ils voyagent « en ermites » ou encore « en ascètes« , ce qui signifie « comme des » et donc le pluriel s’imposera.
Ils se conduisent en égoïstes / Ils agissent en maîtres du monde / Ils viennent en touristes

Personnellement très surprise par la tournure proposée par Bruno : les portes ouvriront  à 9 h.
C’est le magasin qui ouvre à 9 h,  ses portes se contentent de s’ouvrir, non ?

Pierre,
Vous m’interrogez sur cette phrase que je vous ai proposée :
Les portes sont ouvertes à 9 h tapantes.
Pourquoi me demandez-vous si « elle est vraiment correcte » ?
Les portes du magasin sont ouvertes (par les agents de sécurité) tous les matins à 9 h précises.
Cela équivaut à dire : on ouvre les portes / ouverture des portes à 9 h

Je ne connais pas le contexte, j’ai cru qu’il s’agissait d’un horaire affiché sur la porte du magasin.
Mais vous dites « je veux juste parler de portes qui s’ouvrent, de ce qui « se passe » devant moi. « 
Si les portes s’ouvrent devant vous, il s’agit d’une ouverture automatique, ou alors vous êtes le premier à entrer dans le magasin quand on ouvre les portes.

Mais surtout, s’il s’agit d’un texte et que vous en êtes l’auteur, et que les tournures usitées ne vous conviennent pas, employez la tournure qu’il vous plaira, la raison de l’auteur est toujours la meilleure, et cela n’engage que lui ;°)

Voici ce qu’en dit l’Académie :
COURANT : Par analogie. Le cours du temps. Dans le courant de l’année, du mois, de la semaine. Dans le courant du mois de juillet. Cela se passait dans le courant de l’année 1980.

Bien sûr, vous l’aviez compris, Astrolabe, la tournure appropriée est « Dans le courant de la semaine prochaine« , ce qui a donné la tournure plus familière « courant semaine prochaine « , où l’on escamote les articles et la préposition, comme cela se produit de plus en plus malheureusement, notamment dans le domaine administratif, dans le « jargon de bureau ».
Mais « courant la semaine prochaine  » fait vraiment mal aux yeux………
Diriez-vous « courant le mois de  juin » ou « courant l’année  2023 ?
Non, ça n’est vraiment pas une tournure appropriée, à éviter à tout prix !

Il me semble que « les portes s’ouvrent » se dira pour un portail automatique par exemple, où les portes s’ouvrent toutes seules, en quelque sorte.
Mais pour un magasin, il y a une intervention humaine, donc on dira plutôt :
On ouvre (les portes) à 9 h / Le magasin ouvre (ses portes) à 9 h / Ouverture des portes à 9 h / Les portes sont ouvertes à 9 h tapantes, …

Petite précision pour votre phrase 1 : À moins qu’il y ait / qu’il n’y ait…
Le « ne » explétif est facultatif et ne change rien au sens de la phrase.

Vos phrases sont équivalentes, et correctes, à part la 3, vous lui préfèrerez la tournure n° 2, ou bien :
À moins de changements imprévus, je serai présente

Malgré tout, un changement est presque toujours imprévu, me semble-t-il, aussi je vous suggère : 
À moins de changements de dernière minute….

Ma préférence va à la n° 4.

Les appels aboutissent à un standard / sont dirigés vers un standard.
En principe, nul besoin de préciser qu’il est « commun », un standard, par définition, centralise tous les appels.

En effet, les bonnes tournures sont :
Ils font appel à nous / à notre bon sens / à notre compréhension, etc.
Ou bien
Ils s’adressent à nous, ils nous sollicitent, ils nous mandatent, etc.
« Ils nous font appel  » ne signifie pas grand chose.

Tout commence  par des rencontres qui impulsent une mise en mouvement, et créent des coopérations à impact devenant source de belles histoires.

Au premier abord, en lisant votre phrase, je pensais qu’il s’agissait d’un traité de physique, chimie, biologie… jusqu’à « belles histoires »…
J’avoue que votre phrase me déstabilise un peu… vous parlez donc d’histoires d’amour ? C’est vrai que c’est aussi physique, chimique, et biologique ;°)

Impulser signifie « donner une impulsion à »
Impulsion signifie « Poussée, généralement brève, qui s’exerce sur un corps et lui communique un mouvement.« .
Aussi, je ne crois pas que vous puissiez écrire :
« Les rencontres donnent une impulsion à une mise en mouvement  »
autrement dit
« Les rencontres donnent une brève poussée qui communique un mouvement à une mise en mouvement « .
En effet, ça n’a aucun sens.

Pour comble de romantisme, les rencontres « créent des coopérations à impact « , autrement dit, selon le dictionnaire, « des collaborations à effet violent aux vives répercussions« … et qui en plus « se transforment en sources de belles histoires  » :
Impact (dictionnaire de l’Académie) :
Effet violent, vive répercussion. 
Remarque
C’est par une extension abusive qu’on emploie Impact en parlant d’une influence diffuse ou générale.

Aussi, vous l’aurez compris, le singulier à « source » est loin d’être le plus gros problème de votre phrase.
Ma suggestion : utilisez des mots et des tournures simples et claires, comme par exemple :
Tout commence par des rencontres, sources de bonnes surprises, qui peuvent entraîner des projets communs, des loisirs à partager, et déboucher parfois sur de belles histoires.