De mon côté, je ne pense pas l’avoir jamais entendu dire, mais j’ai en revanche souvent entendu « courant mai » ou « courant juin« , a priori avec la même construction et le même sens (au cours de).
Syntaxiquement, les deux formulations sont aussi correctes l’une que l’autre, c’est-à-dire qu’aucune ne l’est ou que les deux le sont.
Mais on ne peut pas trier selon l’inspiration du moment à coups de « il est préférable« , de « je ne dirais pas cela » ou de « c’est inapproprié« , les trois arguments grammaticaux principaux utilisés sur ce site.
Votre idée consistant à considérer le mot « courant » comme une préposition est manifestement souvent appliquée. Mais pouvez-vous expliquer en quoi telle ou telle syntaxe serait plus familière qu’une autre ? C’est un constat statistique ou un jugement de valeur ?

Bonjour CParlotte,

Ce n’est pas mon verbatim. Je dis cependant que c’est familier parce qu’on m’a souvent demandé : « On se retrouve courant la semaine prochaine ? » mais jamais  « Pourrions-nous convenir d’un rendez-vous courant la semaine prochaine ? » et c’est la première fois que je le vois écrit.
Aujourd’hui cette formulation n’est pas correcte (j’espère ne pas avoir été ambigu dans ma réponse) mais on peut imaginer qu’elle le devienne un jour à l’usure, puisque  la construction relève de la même logique qu’avec durant.
Si l’on veut soigner son langage, il vaut mieux dire « au cours de la semaine prochaine » par rapport à « dans le courant de la semaine prochaine ». Mais si l’on veut absolument conserver une expression avec le mot courant, il faut dire « dans le courant de la semaine prochaine » et rejeter « °courant la semaine prochaine ».

Cela dit, je ne vois pas pourquoi on réduirait le langage à un système oui/non, à une norme à choix unique. Il existe des règles qui sont strictes, des usages qui sont dominants et des tolérances de formulation.  Dans l’espace de liberté que constitue l’expression d’une langue, les énoncés produits peuvent être plus ou moins clairs et plus ou moins élégants. L’appréciation est souvent très subjective, mais je crois que les demandeurs souhaitent aussi  entendre des contre-propositions et des avis, lesquels ne peuvent être  introduits qu’avec une certaine réserve.

P.S. courant juin ou courant avril : c’est une formulation d’un usage tout à fait commun et correct. L’appréciation du caractère familier n’est pas de mon fait, ni d’ailleurs de la valeur prépositionnelle (cf infra)

COURANT : Définition de COURANT (cnrtl.fr)

II.− [Dans le temps]