« Il sera rassuré et moins stressé une fois qu’il aurait eu  tous ces papiers à deposer. »

Dans cette phrase, la concordance des temps n’est pas respectée, le conditionnel passé n’a rien à faire en face d’un futur de l’indicatif, et je suis bien d’accord avec vous, le futur antérieur de l’indicatif s’impose :
Il sera rassuré dès qu’il aura eu / obtenu tous ces papiers (qu’il doit déposer au bureau d’inscription)
Ou bien
Il ne serait rassuré que quand il les aurait obtenus.

Il sera rassuré et moins stressé une fois qu’il aurait eu tous ces papiers à déposer.

– « Avoir à + infinitif » signifie « devoir + infinitif » > il a des papiers à déposer = il doit déposer des papiers
Si bien qu’on voit mal le lien logique entre les deux propositions : il sera rassuré et il devra déposer les papiers

>> Il me semble que vous voulez dire : il sera rassuré, et moins tendu après avoir déposé tous ces papiers
ou encore : il sera rassuré, et moins tendu après n’avoir plus qu’à déposer  tous ces papiers

– En effet on peut toujours utiliser le futur antérieur dans la subordonnée  : Il sera rassuré, et moins tendu, quand il aura déposé tous ces papiers/ quand il n’aura plus qu’à déposer tous ces papiers
mais généralement, quand le sujet est le même dans les deux propositions, on préfère l’infinitif.