Si ce chien n’était pas stérile, ils auraient pu en faire un étalon.

La première partie de la phrase -la subordonnée- est un imparfait modal : il n’est pas temporel. Il n’exprime pas le passé mais une hypothèse. Ici, l’hypothèse porte sur l’état « intemporel » du chien (qui a été qui est et qui sera stérile).
La principale a un verbe au conditionnel passa qui exprime l’irréel dans le passé.

La phrase est parfaitement correcte dans l’emploi de ses temps. 

D’autres temps sont possibles dans la principale (et dans al subordonnée) , mais le sens des phrases est alors différent.

Vous devenez partenaire et débloquez : les deux verbes étant reliés par la conjonction de coordination « et » sont obligatoirement au même mode, au même temps et à la même personne.

Je pense que cela dépend du contexte.

Le monde entier incluant Michel  le verbe est au singulier
je le faisais pour que Michel, puis le monde entier sache…

Les deux sont possibles, selon que l’on veut présenter le fait de la subordonnée  comme une réalité (phrase 1) ou comme un sujet de spéculation intellectuelle, de conjecture (phrase 2).
1 C’est le type le plus drôle que j’ai jamais rencontré.
2 C’est le type le plus drôle que j’aie jamais rencontré.

Non.
Il se trouve seulement que le complément désigne un sentiment de joie mais qui peut varier ; on peut  Exulter de bonheur, d’allégresse.
Le sens est : éprouver intensément et manifester sans retenue. On peut donner comme synonymes :déborder, éclater de; être transporté de.
Exemple : Il exultait de joie, il criait que c’était son meilleur morceau de peinture (Zola).
Ce n’est que par ellipse qu’il se passe de complément  et signifie éprouver et manifester une joie extrême. (Il a alors le sens de  jubiler.
(d’après le TLF)

Exulter de joie n’est donc pas un pléonasme

On n’a pas là un nom composé mais un nom apposé à un autre et il n’y a ni trait d’union ni accord entre eux (un nom ne s’accorde jamais avec un autre nom). C’est le sens qui décide.
Comme il y a plusieurs découvertes, le pluriel est déjà là au singulier de « sortie ».
Une sortie découvertes / des sorties découvertes

On a là une sorte de métaphore. Un jeu de mots sur l’origine des voitures et un gentilé (une Américaine).  C’est pourquoi il faut une majuscule.

La place de l’adverbe détermine l’emploi d’une des virgules :
la qualité de la relative détermine si on la met ou non entre virgules
on peut donc avoir dans le cas où l’adverbe est classiquement après le verbe :
si la relative est descriptive : Dans la pièce, qui accueillait auparavant  les amours furtives, le décor était resté le même.
si la relative est déterminative : Dans la pièce qui accueillait auparavant les amours furtives le décor était resté le même.

Mais si on déplace l’adverbe, il doit être entre virgules et cela donne :
si la relative est descriptive : Dans la pièce, qui, auparavant, accueillait  les amours furtives, le décor était resté le même.
si la relative est déterminative : Dans la pièce qui, auparavant, accueillait les amours furtives le décor était resté le même.

La relative descriptive ajoute à son antécédent (ici « pièce ») une qualification
La relative déterminative ou restrictive sélectionne ici une pièce parmi les autres qui n’accueillent pas, etc.

Il ne faut pas confondre se  prendre à quelque chose et la locution verbale : s’y prendre
Se prendre à qqc  signifie « se laisser séduire par quelque chose ».
Exemple du TLF : Elle s’exaltait, se prenait à la plaidoirie (Cocteau).