La règle est celle du participe passé à apprendre par cœur.
Vous la trouverez facilement.

Le peu d’honnêteté qu’ils ont montrée nous a beaucoup déçus : nous avons cessé de les voir.
Montrée : auxiliaire avoir – accord avec le COD si il est placé avant (dans le cas où l’auxiliaire est avoir). Le COD est |qu’| reprenant honnêteté féminin singulier*
Déçus  : un |S| parce qu’il y a accord avec le COD du verbe  « nous », pluriel et placé avant (l’auxiliaire étant avoir)
Cessé : auxiliaire avoir – pas de COD il n’y a pas d’accord à faire.

*si on considère que |qu’| reprend « peu », alors on écrit « montré ».

« Sous le feu » est une  expression figée où feu est toujours au singulier.

En parlant de pizzas : Le jury les ont appréciées.
Oui. L’accord du participe passé se fait avec le pronom COD |les| féminin pluriel parce qu’il reprend le nom « pizzas ». Avec l’auxiliaire avoir : accord du PP avec le COD s’il est placé avant, ce qui est le cas ici.

Son collier était fabriqué avec des petites perles.
La préposition « avec  » fait de « des petites perles » un complément de moyen.
On pourrait avoir aussi :
Son collier était fait de petites perles  : et là, « de petites perles » peut être considéré comme un complément exprimant la matière.
En réalité,  la préposition fait la fonction.

« Prendre feu » est une locution verbale, c’est à dire que le groupe se comporte comme un verbe. Ici « s’enflammer ».
S’il faut absolument analyser « feu », on peut dire qu’il est COD du verbe (il prend le feu).

Hors contexte il y a en effet ambiguïté. Le contexte la lève la plupart du temps, si bien qu’en effet, les Français emploient très couramment le verbe dans ses deux sens.

On peut, pour le deuxième sens du verbe trouver, trouver (!) des équivalents et vous en donnez un :
Comment as-tu trouvé ce médecin ? > quelle impression t’a faite ce médecin ? Qu’as-tu pensé de ce médecin ?  etc.

Vous avez raison. On a : « être prostré » mais pas « se prostrer » ni même « prostrer ».

Pour lever vos doutes futurs :
– après une préposition un verbe est à l’infinitif
Il est conseillé de porter des bottes – il ouvrit la fenêtre pour aérer – tu penseras à fermer la porte – voici une pile de vêtements à laver – la machine à laver est en marche…
de nouvelles conclusions corrigées à envoyer
– après un autre verbe il est aussi à l’infinitif : il faut ouvrir ce coffre

Les valeurs de l’infinitif :
– injonction à l’écrit: bien agiter le flacon – fermer à clé SVP
– Il a pleine valeur de verbe  (sauf quand il est précédé d’un déterminant auquel cas il est devenu un nom un déjeuner)
– Il indique toujours une action : il veut partir – des conclusions à envoyer – parler est interdit – un coucher de soleil

À ce sujet,  je lui ai adressé un mail dont vous trouverez ci-dessous la copie.

Le pronom dont est ici complément du nom copie.
Je lui ai adressé un mail
Vous trouverez ci-dessous la copie de ce mail
Dont remplace « de ce mail »

Il semble que les deux soient possibles.
Où marquant le temps aussi bien que le lieu et « la première fois » ici étant un repère dans le temps, je penche pour le « où ».

Elle glissa un coussin sous sa tête et prit ses aises, comme la première fois où/ le jour où / je l’avais vue.

Lorsque nous n’étions que toutes les deux, je la mis au courant de ma situation pour avoir un avis extérieur.
Ici le verbe mettre est au passé simple.
Si on change de personne :
Lorsque étions tous là; ils la mirent au courant de ma situation pour avoir un avis extérieur.
Ou :
Lorsque nous n’étions que toutes les deux, je l’ai mise au courant de ma situation pour avoir un avis extérieur.
Ici le verbe mettre est au passé composé.
Si on change de personne :
Lorsque étions tous là; ils l’ont mise au courant de ma situation pour avoir un avis extérieur.