Je ne sais pas trop ce qu’est une « barre continue » mais  de toute façon l’accord du verbe se fait avec la quantité :
– Dix kilos de ciment ont été coulés pour faire un socle.
– Dix litres d’eau ont été versés dans le bac.
– Deux tiers de la récolte ont été perdus.
– Douze mètres de barre(s) continue(s) ont été installés.

Il s’agit ici de la forme impersonnelle il arrive que. L’accord du participe se fait donc au masculin singulier quelles que soient les personnes à qui il arrive quelque chose.
Il nous arrive de nous chamailler 
Il nous est arrivé de nous chamailler.
Il nous était arrivé de nous chamailler.

Sans complément particulier, tout indique que chaque mère n’a qu’une seule famille nombreuse. Le pluriel est donc ici inutile, voire parasite. Donc : « On préconise du repos pour les mères de famille nombreuse. »
Dans ce type de combinaison (nom + complément sans article), il est souvent bon de marquer spécifiquement le pluriel inaudible si on veut le faire ressortir :
– Les détenteurs de livret(s) d’épargne (formulation vague) ;
– Les détenteurs de plusieurs livrets d’épargne.

Comme indiqué dans la réponse de Joëlle, le pluriel est ici nécessaire.
À noter, si vous êtes la rédactrice, que vous devez employer l’appellation exacte de « Académie royale de peinture et de sculpture ».

Sans complément, le singulier parent d’élève suffit. Le pluriel n’est pas faux mais parasite (faut-il avoir plusieurs enfants scolarisés pour être appelé ainsi ?).
Le pluriel est en revanche nécessaire si un complément le justifie : Les parents d’élèves de seconde devront être présents (= de tous les élèves de seconde).

Concernant le féminin (plus ou moins récent) de certains mots,  je vous renvoie sur ma réponse à une question récente.
Rien ne s’oppose sur le principe à former des noms fléchis d’après un autre mais ce sont les conditions d’emploi qui posent un problème. Voir mon exemple avec auteur-autrice dans cet esprit. Quand les deux sens (substance individuelle et fonction occasionnelle) coexistent, il y a un risque de parasitage.
Une femme peut légitimement être qualifiée d’écrivaine (activité professionnelle, principale), mais elle ne sera peut-être que l’écrivain (ponctuel) d’un manifeste ou fera partie des écrivains (en général) à la mode.

Pour compléter la réponse de AntM, ajoutons à destination des Alsaciens les saints-nicolas, célèbres figurines de pain d’épices qui fleurissent dans les marchés de Noël.
Comme tous les noms composés lexicalisés (un saint-bernard, une saint-jacques, un saint-nectaire et tout le saint-frusquin), les majuscules disparaissent et l’accord se fait normalement lorsque le nom est utilisé seul. Cela est certes loin d’être respecté et l’on trouve de tout…

Les formes fléchies des substantifs (notamment le féminin tiré de la forme générique dite « masculin ») ne s’utilisent que pour attribuer un sexe à une personne, pas à une fonction impersonnelle ou occasionnelle. La confusion régulière de ces deux notions linguistiques engendre souvent des erreurs.
Ainsi on dira que Colette était une autrice prolifique (on assimile la femme et l’auteur) mais que Colette fait partie des grands auteurs de son époque (le mot est ici le terme général social).
Le mot enfant a la même forme aux deux genres mais peut amener deux accords différents :
– Marie était une enfant turbulente (dans sa jeunesse, comme personne) ;
– Marie est restée l’enfant préféré de son père jusqu’à sa mort (rôle général de descendant, garçons et filles confondus).
Certains mots n’ont ainsi jamais été féminisés car la fonction a toujours eu le rôle principal. C’est le cas de témoin et de nombreux autres qui n’ont que la version masculine car le terme ne désigne pas une caractéristique « essentielle » de la personne.
Malgré la tendance moderne d’attribuer les deux genres à tous les mots, il convient de rester prudent dans les emplois. Ce raisonnement fonctionne bien entendu avec les mots féminins (sentinelle, vigie, vedette, etc.) pour des fonctions occupées par les deux sexes.

Dans cette construction, l’adjectif sincère est attribut et se rapporte à la réalité impersonnelle de « il vaut mieux être ». Le complément est accessoire et ne change pas l’accord régulier au singulier. 
L’accord interviendrait si un sujet était exprimé : « Je crois qu’il vaut mieux que les gens soient sincères les uns envers les autres. »

Les deux sont possibles avec peu de différence de sens. On peut éventuellement changer l’ordre des mots afin de mieux faire ressortir le rattachement de l’adjectif : « Les masses souterraines d’eau, appelées nappes phréatiques, … »