Le verbe admettre est énantiosémique (il comporte des sens contraires) et peut demander des constructions différentes selon le degré d’incertitude qu’il comporte :
– Sens de « constater » ou « accepter » (certitude) : Je n’arrive pas à admettre qu’une page est en train de se tourner. (c’est un fait mais je le refuse) ;
– Sens de « supposer » (incertitude, hypothèse) : Je n’arrive pas à admettre qu’une page soit en train de se tourner. (ce n’est peut-être pas le cas).

Sur un pur plan grammatical, vous pouvez bien entendu accorder à votre convenance. La question est de savoir si le pluriel uniquement graphique ajoute quoi que ce soit au sens. Le « gout du jour » est une abstraction qui se suffit à elle-même et c’est le singulier que l’on entend et comprend. C’est aussi comme cela qu’on la trouve dans les publications.
Si vous voulez vraiment faire ressortir un pluriel, il faut le montrer plus visiblement : « aux différents gouts du jour », « aux gouts discordants du moment » « aux gouts variés de l’époque », etc.

En l’état, la formulation est ambigüe, mais par défaut le pronom relatif (que) se rapporte au mot qui le précède immédiatement (choses). La forme serait donc : « …c’est l’une des premières choses que l’on s’est promises. » (une parmi les promesses faites)
Pour que le pronom renvoie à un mot précédent, il faudrait  casser ce lien par une virgule qui prend alors une valeur syntaxique : « …c’est l’une des premières choses, que l’on s’est promise dès notre rencontre. » (c’est cette chose-là spécifiquement qu’on s’est promise)
Il faut bien entendu s’adapter au sens et au reste de la phrase mais le principe est permanent. 

Il est préférable de  soumettre des phrases complètes pour une question. Voici ce que j’écrirais : 
« « C’est un problème qui est assez difficile à qualifier et auquel je ne saurais répondre. »
Il faut employer le conditionnel dans ce cas.

Voici les possibilités selon moi :
Au présent ou futur :
– Tu attends, attendras… qu’il fasse la cuisine (action commencée), qu’il ait fait la cuisine (action achevée).
Au passé :
– Tu attendais, as attendu, avais attendu… qu’il fît la cuisine (action commencée), qu’il eût fait la cuisine (action achevée).

Ici le mot niveau est qualifié par trois adjectifs différents, non cumulables, et il reste donc au singulier. C’est une ellipse de : « L’animateur pose la question de niveau facile, de niveau avancé ou de niveau expert. »
NB On pourrait avoir un pluriel dans des tournures comme poser des questions de niveaux différents. 

Comme les locutions verbales se laisser, se faire et s’entendre, se voir est une tournure qui peut se lire de deux manières distinctes lorsque suivie d’un infinitif :
– soit le verbe est un pronominal réfléchi et l’accord se fait normalement avec le sujet : elle s’est vue renaitre. Elle s’est vue interdire l’accès à la bibliothèque aux enfants turbulents. C’est la forme elliptique de se voir en train de +infinitif. C’est un cas peu courant mais parfaitement correct.
– soit le verbe est un semi-auxiliaire et le participe ne varie pas : elle s’est vu interdire l’accès à la bibliothèque par le directeur.  La locution est ici l’équivalent d’un passif (elle a été, s’est vue interdite d’accès). 

Au sens propre, les deux expressions ont le même sens : inverser le sens de la marche, en parlant d’un véhicule. Historiquement elles sont toutes deux apparues au XIXe siècle pour des appareils motorisés ayant un système de boite de vitesses : bateaux et surtout locomotives puis automobiles. Le sens figuré a suivi dans les deux cas sans grande différence et je ne saurais personnellement les distinguer. Au mieux peut-on noter que la « marche arrière » est statistiquement beaucoup plus courant que « machine arrière » mais le sens est le même : changer d’avis, revenir sur une décision, adopter un comportement inverse.
En tout cas, on peut se dispenser de l’étrange « rétropédaler » dont nous abreuvent les médias depuis quelques années. On attend toujours une démonstration, peut-être sur un pédalo de compétition.

Oui, c’est familier mais tout à fait correct.
Liste  d’attestations dans les publications ICI (XXe siècle, non trié).

En toute rigueur, et notamment à l’écrit, il convient de reprendre avec un pronom neutre (= masculin)  la subordonnée implicite :
« Faudra-t-il se battre ?
— Aussi longtemps qu’il le faudra. » (le représente se battre)
Le verbe impersonnel « il faut » appelant par nature un sujet réel, je ne vois pas de cas où le pronom serait omis. À l’oral, il est en revanche à peine audible, ce qui explique sa disparition fréquente dans une conversation.