Lorsque le mot un est un adjectif numéral cardinal placé après un nom, il est invariable en genre et en nombre. C’est le cas de tous les autres : les catégories un, quatre et huit, comme on dirait les classes A ou les sections alpha et oméga. Il ne s’agit pas de l’article indéfini. On dit et écrit donc la catégorie un.
Dans le même esprit, on dit que Martina N. est le nouveau numéro un mondial (et non la nouvelle numéro une, le nouveau numéro une ou autres fantaisies).
À noter la variante avec l’adjectif numéral ordinal qui lui s’accorde normalement : en première catégorie, la première joueuse mondiale, etc. 

Bonne question pour un nom composé moderne que l’on ne trouve quasiment que dans les publications journalistiques. Faute d’avis éclairé sur le sujet, on peut raisonner de deux manières :
1. Le mot quart est un nom commun et doit donc s’accorder. C’est le cas lorsqu’on parle de quarts d’heure, de quarts de finale ou de quarts de cercle. Mais dans ces cas-là, la préposition de rend les éléments indépendants ;
2. Le mot quart- est un élément formant invariable, sur le modèle de mi -ou demi-. Pour d’autres proportions, les éléments déci-,  centi- ou milli- ont fini par se souder au nom qui suivait.
Personnellement, je privilégierais la seconde mais on ne peut considérer l’accord comme une erreur.

Le mot fin est de genre féminin. On dit et écrit donc : En cette fin d’après-midi.

Le verbe manquer (sens de être manquant) se conjugue normalement avec l’auxiliaire avoir. : Ils nous manquent, ils nous ont manqué, la chance lui a manqué, nous avons manqué à nos devoirs, etc.
Donc : « Des moments d’amusement qui lui avaient un tant soit peu manqué durant son enfance. »

Même si le reste est amputé dans la langue familière, l’impératif reste l’impératif et se conjugue normalement : T’énerve pas, Y va pas, Cause-moi pas comme ça… 

Oui, c’est correct, notamment pour l’accord du participe passé.

Devant une autre interjection, il s’agit bien de la conjonction de coordination et qui relie souvent dans ce cas le début de la phrase à une liste plus ou moins sous-entendue. Elle marque la conclusion d’une série d’actions ou de remarques. Elle est d’ailleurs  souvent accompagnée de puis ou de à la fin : « Me taire, ne pas bouger, filer doux : et (puis) mince (à la fin). »
Au XIXe siècle, la formule courante était et puis zut ! Voir une liste de citations ICI (romans, théâtre).

Listes  à puces, en style formulaire, rapport ou pense-bête.
Il y a plusieurs possibilités dont je ne donne ci-dessous que les résultats sans les commenter outre mesure :

• salade ;
• tomates ;
• fruits :
  • *   pommes ;
  • *   poires ;
  • *   fraises ;
• lait ;
• sucre.

• salade ;
• tomates ;
• fruits (pommes, poires, fraises) ;
• lait ;
• sucre.

En version « littéraire » (dite « au long », sans puces), cela donne par exemple :
« Il lui communiqua une liste de courses à faire à la supérette du coin : salade ; tomates ; fruits (pommes, poires, fraises) ; lait ; sucre. »

Mieux vaut tard que jamais, dit l’adage.
Vos questions sont les bienvenues !

Les deux tournures sont grammaticalement correctes et sémantiquement équivalentes.
La seule différence semble être la fréquence : au cas où est nettement plus fréquent et pour le cas où semble cantonné à des situations plus littéraires ou techniques (Droit, Histoire).
On peut ajouter deux autres formes : dans le cas où et dans l’hypothèse où.