Comment accorderiez-vous la phrase suivante : « Savez–vous combien de brevets White Star a déposés l’année dernière ? »

LE COD est « brevets » qui est au pluriel > accord avec le COD placé avant le verbe.

En découvrant leur union, le père avait sommé sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle serait déshéritée/aurait été déshéritée sur-le-champ.
Attention : deux notions s’enchevêtrent :
1 S’il ne fait aucun doute que la sanction tombera on emploie le futur du passé (sa forme est celle du conditionnel présent) :
Le père somma/sommait/a  sommé/ avait sommé sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle serait déshéritée

2 Si au contraire on insiste sur le fait que  la sanction est soumise à condition, on emploie le conditionnel passé
Le père somma/sommait/a  sommé/ avait sommé sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle aurait été déshéritée
(Remarque : un temps de la principale au passé)

Ces deux phrases donnent au système du présent :
1 Le père somme sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle sera déshéritée
2 Le père somme sa fille de renoncer à cet amour, sans quoi elle serait déshéritée

Il faut se mettre d’accord sur un projet qui permet de ? qui permette de ?
Les deux modes sont possibles.

Il faut se mettre d’accord sur un projet qui permet de … ce projet est considéré comme existant dans l’esprit de l’énonciateur.
Il faut se mettre d’accord sur un projet qui permette de ... ce projet est (encore) virtuel dans l’esprit de l’énonciateur.

On peut même avoir le conditionnel :
Il faut de mettre d’accord sur un projet qui permettrait de... pour exprimer l’hypothèse qu’un tel projet existe.

Voici ce que dit la BDL :
L’expression de grandeurs ou de mesures peut […] être complément direct de verbes comme ajouter, calculer, couper, enlever, passer, prendre et supprimer. L’accord du participe passé se fait donc avec le complément s’il est placé avant.
Les deux jours que nous avons passés à écrire ce rapport ont été longs.

Il faut donc faire l’accord ici : Que d’heures n’a-t-il pas passées ? Heures est bien COD placé avant le verbe : l’accord se fait avec lui.

Est-ce que cela vous surprend qu’il y a toujours des guerres quelque part ?
Avec l’indicatif la question porte sur un fait qui est posé dès le départ : il y a toujours des guerres quelque part; est-ce un fait qui vous surprend ?
Est-ce que cela vous surprend qu’il y ait toujours des guerres quelque part ?
Cette fois-ci le fait est posé comme sujet de réflexion. Le propos est la question et le fait n’apparaît que comme le sujet de cette réflexion.

On a là une nuance, certes, et la différence est plus sur la focalisation, la direction de la pensée, que sur le sens lui-même.

On a intérêt ici à reprendre le sujet, cela éviterait l’hiatus :  j’aime ses bras et_ adore > et J’adore

Untel était un fils et un frère indignes
Je ne vois pas deux sujets. On a un seul sujet « Untel », et deux attributs du sujet « fils » et « frère ».
Si l’adjectif qualifie les deux attributs, il se met au pluriel – Que ces deux noms (attributs) désigne une seule personne n’a pas d’incidence :

Un adjectif se rapportant à deux noms coordonnés s’accorde au masculin pluriel ; ou au féminin pluriel si les deux noms sont féminins. Bescherelle

Pour bien voir de quoi chaque nom remplacé par « dont » est complément, il faut retrouver les phrases de base de chaque phrase complexe donnée :

a.Les paradoxes sont étonnants
b. On parle dans ce livre de ces paradoxes
1. Les paradoxes dont on parle dans ce livre sont étonnants.
> On a remplacé « de ces paradoxes » de la phrase b. par « dont ». Or, paradoxe est complément du verbe : complément d’objet indirect introduit par « de ».

a. Un livre !
b. Les auteurs de ce livre ne sont pas si fous
2.Un livre dont les auteurs ne sont pas si fous !
> On a remplacé « de ce livre »de la phrase b.  par « dont ». Or, « livre » est complément du nom « auteurs » introduit auprès de lui par « de »

a. On prend du recul sur ce pays
b. Nous sommes parfois trop fiers de ce pays
3.On prend du recul sur ce pays dont nous sommes parfois trop fiers.
> On a remplacé « de ce pays de la phrase b.  » par « dont ». Or « pays » est complément de l’adjectif « fiers » introduit auprès de lui par « de »

Remarque : « dont » est un pronom relatif qui remplace toujours un complément introduit par « de », que ce complément soit complément du verbe, du nom, de l’adjectif (ou autre).

Paul apprend le français afin qu’il puisse communiquer avec ses collègues.
Paul apprend le français afin de pouvoir communiquer avec ses collègues.
L’emploi de l’infinitif est ici plus « fluide », et sans doute plus courant, mais le subjonctif n’est pas interdit. Avec la reprise du sujet et le verbe au subjonctif, on a forcément une sorte d’insistance qui peut être voulue.

Attention : aucune subordonnée relative ici. Une subordonnée relative est complément du nom : Pal apprend le français qui était la langue maternelle de son père : la proposition en italique est complément du nom « français ».

Afin qu’il puisse communiquer avec ses collègues  est une proposition subordonnée conjonctive de but complément du verbe « apprendre »
Afin de pouvoir communiquer avec ses collègues est une proposition infinitive complément du verbe (on l’appelle complétive).

Pierre donne 2 euros à Paul, Alain et Sylvie.
Vous demandez quelle est l’explication syntaxique qui permet de savoir…
La question est mal posée. Demandons-nous plutôt comment lever l’ambiguïté de l’énoncé. Car en effet, cet énoncé est ambigu. Il faut donc, formuler autrement.
Pierre donne 2 euros chacun, à Paul, Alain et Sylvie.
Pierre donne à Paul, Alain et Sylvie,  2 euros à se partager.
Autrement dit, il faut ajouter un élément sémantique.