Oui, cette  phrase est correcte : il existe trois façons de formuler une question, la présence du déterminant interrogatif ne change rien. Chacune de ces différentes façons appartient à un registre distinct :

Elle aime quelle fleur ? Registre familier.
Quelle fleur est-ce qu’elle aime ? Registre courant.
Quelle fleur aime-t-elle ? Registre soutenu.

Les deux sont possibles, avec ou sans virgules.

– Chacun de son côté, / Chacun de leur côté, Poincaré, Briand et Barthou ont décidé de faire tomber Caillaux en fournissant les éléments nécessaires à Calmette pour remplir son journal. 
– Poincaré, Briand et Barthou, chacun de son côté, / chacun de leur côté, ont décidé de faire tomber Caillaux en fournissant les éléments nécessaires à Calmette pour remplir son journal. 
– Poincaré, Briand et Barthou chacun de son côté / chacun de leur côté ont décidé de faire tomber Caillaux en fournissant les éléments nécessaires à Calmette pour remplir son journal.
– Poincaré, Briand et Barthou ont décidé, chacun de son côté, / chacun de leur côté, e faire tomber Caillaux en fournissant les éléments nécessaires à Calmette pour remplir son journal.

Selon Grevisse, l’unipossessif (son) serait préférable (ou préféré) au pluripossessif (leur).

Je vous conseille de mettre un trait d’union.
Le premier extrait vient du Tlfi ; le second, du Bon Usage.

Comme dit par Tara, vous avez dans les deux phrases de l’indicatif.

Dans la deuxième phrase la concordance des temps est appliquée.
Dans la première phrase, elle ne l’est pas, ce qui est « autorisé », et cette non concordance permet de désambiguïser, le cas échéant, le propos : avec l’imparfait, on ne sait pas si le fait d’étudier est toujours actuel ou pas, avec le présent le doute est levé, la personne étudie toujours au moment de l’énoncé.(source)

Donc, pour résumer :
– si la personne n’étudie plus au moment de l’énoncé, seul l’imparfait est correct ;
– si la personne étudie toujours, les deux sont corrects, et le présent permet de lever le doute.

Ce sont deux constructions différentes.

La première est une construction impersonnelle > C’est facile de = Il est facile de, avec ce = pronom impersonnel.
La deuxième est une construction personnelle, avec ce = pronom représentant > qui renvoie à un antécédent.

Pourquoi peut-on dire C’est facile de parler ? Parce qu’on a bien ici une tournure impersonnelle : Il est facile de parler.
Pourquoi ne peut-on dire C’est facile à parler ? En fait, cette phrase est correcte, non plus en tournure impersonnelle (Il est facile à parler), mais en tournure personnelle, à condition de donner l’antécédent :
L’anglais, c’est facile à parler, mais difficile à prononcer.

Pourquoi peut-on dire C’est facile à faire ? Parce qu’on a ici la tournure personnelle avec ce qui renvoie à un antécédent ou à la situation Le tricot, c’est facile à faire / Ce que tu es en train de faire, c’est facile à faire.
Pourquoi ne peut-on dire C’est facile de faire ? Simplement parce que faire demande un complément qui est ici absent, si on en rajoute un, la phrase devient correcte :
C’est facile / Il est facile de faire du tricot.

Usito, parmi bien d’autres sources, confirme la réponse de Joëlle.

Comme dit par Joëlle, lorsque le sujet est inversé, il ne faut en effet pas faire suivre le complément d’une virgule, voir par exemple cet extrait du Robert en ligne :

Vous avez le choix entre les deux accords, extrait du Bon Usage :

Strictement dans l’absolu, ce n’est pas impossible, en calquant la tournure archaïque pour ce faire. De fait, on trouve des occurrences anciennes de ce à ce faire équivalant à faire cela, tout comme pour ce faire équivaut à pour faire cela, sauf que cette tournure ne subsiste à l’heure actuelle que – me semble-t-il – avec pour ce faire. De ce fait, un lecteur contemporain risque de ne pas comprendre (on met de côté les jugements subjectifs du type C’est super laid ou Ah nan, c’est hyper beau). Personnellement, en première lecture, j’interprète le ce comme un déterminant démonstratif et faire comme un substantif > Comment j’en suis arrivé à ce faire = Comment j’en suis arrivé à cette action (la formule est alors plus conforme à la syntaxe contemporaine, mais reste tout de même un peu inattendue).

Si vous ne voulez pas perdre votre lecteur, je crois que vous allez devoir vous accommoder de Comment j’en suis arrivé à faire cela, ou bien trouver une autre formule à la fois « précieuse » et conforme à la syntaxe contemporaine.

Oui, cette graphie est correcte, vous avez également celle avec un e final : tchat(t)e. Donc tchat, tchat(t)e, chat sont tous les quatre corrects.