Alors vraiment, je connais cette horrible expression d’entreprise mais de grâce, ne pourriez-vous pas trouver autre chose ????

Vous allez soutenir (fournir un soutien à) vos managers afin qu’ils accroissent leurs compétences.
ou
aider / vos managers à acquérir de nouvelles compétences / à développer leurs compétences.

Si vous absolument à la montée en compétences / à leur montée en compétences : vous pouvez laisser « leur montée » au singulier mais compétences est au pluriel ; personnelles est superflu.

J’ai constaté des choses qui m’ont choquée : vous devez accorder le PP avec le COD « m' » placé avant et qui représente une femme.

Le capitaine Lansing, mon chef au Central, nous a invités chez lui, Shannon et moi, avec mon ancien collègue Dewey, un très bon camarade, et sa famille.

invités : s’accorde avec nous masculin si concerne filles et garçons
invitées : accord avec nous uniquement des filles
(COD placé avant)

Ils sont frère et soeur : un frère et une soeur.
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Je corrige : ils sont frère et soeurs, puisqu’il y a 2 soeurs.

La phrase est juste.

Il s’agit d’une expression figée ; locution verbale à partir du verbe « finir ».
– ça n’en finit plus ! expression plus orale 
– Ce spectacle ne finit plus.

Hormis ses petits-enfants,  ce sont sans doute les personnes qui lui sont les plus proches.
ce sont : il ne faut pas le supprimer
les plus proches : il y a une comparaison entre différentes entités.

Si le mot ensemble est précédé d’un déterminant défini (le, la, l’), l’accord du verbe se fait au singulier. L’ensemble est considéré comme un nom collectif : L’ensemble de ses œuvres est coloré. L’ensemble des joueurs de l’équipe a participé à l’entraînement.

« en magasin » : expression figée qui reste au singulier, même si cela concerne plusieurs magasins.

Après un verbe d’opinion à la forme négative, et à la forme interrogative, normalement, c’est le subjonctif.
Voir ici.