Marie vous remercie pour les encouragements que vous lui avez envoyés.
Marie vous remercie pour les encouragements que vous avez eus pour elle.
Selon la règle du participe passé : dans les deux cas l’auxiliaire employé est « avoir ». L’accord se fait avec le COD s’il est placé avant. C’est le cas ici.

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Le pronom (relatif)  « que »reprend le nom qui le précède, dans les deux cas « encouragements », il en a le nombre et le genre.
Il est COD du verbe de  la proposition relative (en italiques).

Ce qu’on voit bien si on décompose chacune des phrases en deux phrases simples :
Marie vous remercie pour les encouragements que vous lui avez envoyés.
Marie vous remercie pour les encouragements
vous lui avez envoyé des encouragements

Marie vous remercie pour les encouragements que vous avez eus pour elle.
Marie vous remercie pour les encouragements
vous avez eu des encouragements pour elle.

J’ai mangé une pêche qui semble pourrie

« Pourrie » est attribut du pronom « qui ».
La relative « qui semble pourrie » est une expansion du nom « pêche », on peut, ici la remplacer par un adjectif  « presque pourrie » par exemple. elle complète le nom « pêche »: on peut la dire épithète
Le verbe attributif est à l’intérieur de la proposition relative.

Voici par exemple, deux relatives  attributs du sujet :
Son opinion est que vous ne pouvez rien y faire.
Cet homme n‘est pas qui vous pensez
En ce cas observez : le verbe attributif est extérieur à la proposition relative. Il appartient à la principale
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L’attribut du COD ne peut être qu’un adjectif ou un groupe nominal, jamais une proposition relative :
Nous l’avons senti assez triste : « triste » est attribut du COD « le »
Je  considère de garçon comme mon frère : « frère » est attribut du COD  « garçon »
tu as trouvé ce dessert délicieux : « délicieux » est attribut du COD « dessert »

Je mange en lisant et Je lis en mangeant

La différence n’est pas dans les faits ni même dans le sens.
C’est le thème qui n’est pas le même. Le thème est ce dont on parle
Je mange en lisant : ce dont on parle est que je mange, ce qu’on en dit, le propos, c’est en lisant
Je lis en mangeant : thème : le fait que je lis, propos, cela se fait en mangeant.
Cette notion de thème et de propos est plus perceptible dans un passage de plusieurs phrases.
Exemples :
Le repas est prêt. Je me mets à table, et  me sers une part de tourte. Je mange en lisant le journal : le thème de ce passage est je+ manger
Je m’assieds dans mon fauteuil préféré, sors un bouquin, consulte la quatrième de couverture et me mets à lire. Je lis en mangeant des cacahuètes.

Ses yeux et sa tête perdaient leur(s) fonction(s).
Au singulier si chaque élément a une fonction respective, au pluriel si chacun en a plusieurs

Il faut puiser encore plus de force(s) dans nos cœurs.
Dans sa vie, elle n’a pas fait l’objet de grande(s) attention(s).
Soit on parle de la force et de l’attention en général, soit de plusieurs forces et attentions distinctes

« Laisser » est ici demi-auxiliaire et son participe passé est invariable. Il introduit un verbe à l’infinitif.
Au sens plein il se comporte comme tout autre participe passé : rentre la pomme qu’il a laissée sur la table.

C’est la même chose pour d’autres semi-auxiliaires : la voiture qu’elle a fait réparer.

Elles l’ont laissé tomber.

Quelle que fût l’importance de ces journées, nous nous souviendrons toujours
La proposition en gras est vraiment une subordonnée, vous avez raison. Elle équivaut à : Aussi grande que fût l’importance de ces journées
Cette proposition subordonnée exprime la concession .

Pour répondre à votre question : y a-t-il problème de la faire suivre par une principal dont le verbe est au futur ?
Non, si elles sont chacune bien situées dans le temps. La subordonnée au subjonctif imparfait situe le fait être important dans le passé de l’énonciateur et le fait se souvenir dans son futur.
Si les deux faits se situent dans le futur il faut abandonner l’imparfait pour le présent du subjonctif et écrire : Quelle que soit l’importance de ces journées, nous nous souviendrons toujours.

Remarque : la valeur temporelle du subjonctif est faible. Elle est surtout donnée par la principale.

Oui. Il s’agit d’une forme pronominale à valeur passive;
Les montagnes s’aperçoivent au loin  = les montagnes sont aperçues au loin- la jupe se porte au-dessus du genou = la jupe est portée au-dessus du genou

La table des matières correspond à une liste complète des parties et des sous-parties d’un document. Le sommaire est généralement plus succinct et ne reprend pas forcément toutes les sous-parties[…] Il se situe au début de celui-c – Scribbr

Le nom de « table »  insiste sur la forme de tableau, une présentation peut-être plus rigoureuse des éléments de l’ouvrage : titres précis, pagination et peut-être etc.

Lady est une des chattes qui partagent notre quotidien.
Lady n’est pas une des chattes (tout court) mais une des chattes noires, ou une des jeunes chattes, ou une des chattes de mon voisin. Elle est une dans un groupe de chattes spécifiques.

Ils ont renommé Léa en Princesse Leia. En effet il s’agit là d’un nom propre et donc il prend une majuscule

Bonjour à tous,
Je cherche ce cadeau qui sort de l’ordinaire et dont tu m’as parlé.
On voit que si l’objet est défini, c’est l’indicatif qui apparaît.
Par conséquent, on peut comprendre que l’indicatif est possible quand le cadeau recherché est « présent » dans l’esprit de la personne, quand elle lui donne une valeur de réalité, quand elle se représente mentalement l’existence d’un cadeau qui sort d l’ordinaire.