Tes rustres manières te font l’égal d’un parâtre .
Si on veut garder cet énoncé maladroit :
L’accord doit se faire avec le pronom  « te » qui désigne une personne : s’il s’agit d’un être masculin : égal; sinon, égale
En variant les pronoms :  Leurs manières rustres les font les égaux de parâtres .
Et avec un nom :  Les  manières rustres font paraître ses oncles les égaux de parâtres.

Reformuler serait peut-être une bonne idée. Par exemple  : Avec tes manières rustres tu ressembles à un parâtre.
Remarque : l’adjectif « rustre » se place après le nom.
—
« égal »est attribut de « te » : tu parais l’égal (d’un parâtre)

L’animateur pose la question de niveau facile, avancé ou expert.
Il faut reformuler et développer.
En supposant que j’aie bien compris ce que signifie cette phrase :
L’animateur évoque la question des niveaux, en propose trois : niveau facile (débutant?) , niveau avancé et niveau expert (confirmé ?).
Mais est-ce bien ce que vous voulez dire?

Votre question porte donc sur ceci  : si le pronom se représente la même personne que le sujet du verbe qui suit voir, vu s’accorde avec celui-ci. Elle s’est vue confier cette mission (elle a confié cette mission à quelqu’un). Si le pronom se n’est pas le sujet du verbe qui suit voir, il n’y a pas d’accord. (Académie).

Elle s’est vue trébucher, puis tomber : ici il y a bien réflexivité : « elle a vu elle-même trébucher » : le COD est bien « elle-même » et donc « se » dans le verbe pronominal. L’accord se fait avec le COD placé avant

Elle s’est vu interdire l’accès à la bibliothèque (par d’autres) : il n’y a pas réflexivité mais  le sens est : « elle a vu qu’on lui interdisait l’accès » : cette fois-ci, le COD est la subordonnée « qu’on lui interdisait l’accès… : le pronominal « se voir » a  déjà un COD qui est l’infinitif et non le pronom « se ».

Les cheveux coupés court.
Si on remplace cheveux par chevelure que dirait-on ?
La chevelure coupée courte ou coupée court ? 
Cela se discute.
Mais si on choisissait un autre  adverbe :
Les pommes coupées fin (fines?)
Le contraire serait plutôt  grossièrement que épaisses

Il semble donc que les deux soient acceptables avec une préférence pour l’adjectif employé comme adverbe du verbe.

Quand j’eus acquis assez d’expérience, je suis parti de chez moi et j’ai commencé mon périple.
La concordance des temps est juste. En effet vous remplacez, dans votre récit au passé, le passé simple par le passé composé, ce qui est tout à fait correct (crée un effet).
Voici la phrase avec le passé simple :
Quand j’eus acquis assez d’expérience, je partis de chez moi et je commençai mon périple.

Dans les deux cas, il faut le passé antérieur pour exprimer l’antériorité par rapport au  temps de base (passé composé ou passé simple) 

Il faut le subjonctif : J’apprécie que vous m’ayez contacté
L’accent est mis sur « j’apprécie » : le locuteur fait un commentaire du fait de la complétive (la prise de contact). Ce fait est présenté comme  l’objet du commentaire, seulement.
C’est pour cela que la complétive est au subjonctif.
Cette analyse  semble valable pour tous les verbes de sentiment : je doute/ Je crains/ j’ai peur/ j’aurais aimé/ j’aime…
Voir aussi : « Le subjonctif, fragments d’une théorie énonciative » H. Nolke

Le subjonctif n’est pas le mode de l’irréel. Le mode de l’irréel, c’est le conditionnel.
On peut dire que le subjonctif est le mode du subjectif (à la rigueur)

L’invariabilité du participe passé de » laisser »est admise dans toutes les circonstances de construction.

Mais vous pouvez ici accorder : elle s’est laissée aller à des confidences : accord avec le sujet car auxiliaire « être ».

C’est une visite que le médecin m’a permise
Oui
Le COD du verbe est « que » reprenant « visite ». Il est placé avant et donc l’accord se fait avec lui. 
Mais attention : [m’| est COI. Il n’a rien à voir avec la règle du participe passé. Peu importe son genre.

On écrira donc (même si |m'[ est féminin) : Je me suis permis cette visite. Le COD « visite » est cette fois, placé après le verbe. 

Sous le pont Mirabeau coule la Seine
Et nos amours
Faut-il qu’il m’en souvienne
La joie venait toujours après la peine

Il faut considérer la strophe en entier.
Sur le plan strictement syntaxique, la Seine est le seul sujet et nos amours est sujet réel du verbe souvenir. Comprendre : faut-il qu’il me souvienne de mes amours (avec ellipse de la préposition).
Cependant, la poésie étant aussi un langage sonore et polysémique, et si on dit ce passage plutôt qu’on ne le lit, on peut entendre AUSSI que les amours coulent avec la Seine sous le pont Mirabeau. En ce cas Faut-il qu’il m’en souvienne peut âtre rattaché aux deux premiers vers ou/et au dernier.
Ce qui permet d’avoir simultanément ces différents sens est -entre autres- l’absence de ponctuation. On a là un exemple de l’intérêt qu’il peut y avoir à ne pas ponctuer.

Il faut noter d’abord qu’on hésite parfois sur la place que doit occuper le tréma. Voici un passage d’un article du Bescherelle sur le sujet :
[…]est-il préférable d’écrire ambiguïté ou ambigüité?
S’il n’y avait pas de tréma, on pourrait lire : am-bi-gui-té (la troisième syllabe rimerait avec Guy). En effet, la suite gu devant i ou e sert généralement à indiquer en français que la combinaison de lettres gu se prononce [g] : le u ne s’entend pas. Ex. : guitare, longue.
Si l’on veut faire entendre le u, la meilleure solution est d’ajouter un tréma.  à quel endroit? Sur le u, puisque l’objectif est de séparer les lettres g et u pour entendre les deux sons (plutôt qu’un seul). Pourquoi mettrions-nous le tréma sur le i? Il n’a aucun problème de lecture : on l’entend déjà.
Il est donc recommandé d’écrire ambigüité.
[…]
Comment écrire aigu au féminin? Une voix aiguë ou aigüe ou aigue?
Si l’on écrit aigue, le mot rime avec collègue : c’est le cas dans une pierre aigue-marine. Il faut donc un tréma dans le féminin de aigu. Sur quelle lettre? Traditionnellement, on écrivait aiguë, mais ce n’est pas le e muet que l’on veut entendre, mais bien le u. […]

Pour votre mot Vogüé, je ne sais pas comment il se prononce ;mais, écrit de cette manière il se lit vo -gu (comme dans Gustave) – é
S’il avait été écrit Vogué on le lirait : vo – gué (comme dans guérir)