Cette inversion est légitime même si elle est moins courante que pour des verbes monosyllabiques (type dis-je) ou très courts.
En revanche, il est désormais recommandé (Académie 1990 Règle C.1.3) d’accentuer selon la prononciation, avec un accent grave : — Il était par ici, l’informè-je… 

En effet, aucun et du tout sont redondants dans une même phrase. Certains, qui aiment les hellénismes, appellent cela un pléonasme et condamnent avec fermeté. 
Disons qu’à l’écrit un seul des deux suffit : 
– … ne reçoivent aucun diagnostic. »
– … ne reçoivent pas de diagnostic du tout. »

En français, la conjonction de coordination ou est inclusive par défaut et appelle donc normalement le pluriel*. Les sujets sont censés pouvoir se cumuler :
– Si quelqu’un de votre entourage ou vous avez des idées noires… (pluriel, 2e pers.)
– Si elle ou lui ont des idées noires… (pluriel)
Si on veut exprimer le singulier (forme exclusive), on doit le matérialiser :
– Si toi, ou quelqu’un de ton entourage, as des idées noires… (singulier par introduction d’une incise entre virgules, accord avec le sujet réel 2e pers.)
– Si ou quelqu’un de ton entourage ou toi as des idées noires… (singulier par utilisation de ou… ou… , 2e pers.)
La conjugaison s’aligne sur la personne ayant le rang le moins élevé : je-nous (1re pers.)  l’emporte sur tu-vous (2e pers.) qui l’emporte sur il-ils (3e pers.). Comme l’énumération se fait dans l’ordre inverse (de la 3e à la 1re), cela revient à accorder avec le dernier élément.

*NB Il arrive que le sens seul suffise à engendrer un singulier mais c’est loin d’être le cas le plus courant (lui ou elle recevra le prix d’interprétation).

Le cas ancien (XVIIe siècle) et quasiment unique de nouveau-né et mort-né  semble avoir fait… des petits. On peut comprendre l’apparition ultérieure de premier-né et dernier-né comme substantifs avec trait d’union, mais cela ne va pas plus loin. Dans les  autres cas, le participe n’est qu’un adjectif (naturel= de la naissance à ce jour) au nom qui précède et le trait d’union est abusif car les mots ainsi  composés ne sont pas lexicalisés. L’adjectif peut être ajouté à n’importe quel nom sans avoir à former une entité nouvelle.  Cette forme se trouve néanmoins, mais moins, dans les textes*.
On écrira donc de préférence un orateur né ou un multi-instrumentiste né.

* PS Exemples sommaires d’étude de fréquence globale avec artiste(-)né ou musicien(-)né. D’une manière générale, les formes avec trait d’union sont plus tardives.

Les exemples que vous donnez ne posent pas de problème particulier : ce sont tous de purs adjectifs ou assimilés (pour mauve). Donc l’accord se fait partout comme pour des adjectifs « normaux ».
NB Azalée est de genre féminin. Donc : « …certaines étaient rouges, d’autres roses, d’autres blanches. »

La différence est bien connue et ne pose pas problème :
– une tache au sens de « marque salissante » ne prend pas d’accent. Pensez à détacher ou détachant.
– une tâche est un travail à effectuer. L’accent circonflexe représente un a long et l’ancienne lettre s qui existait en latin (qu’on trouve encore en anglais dans le mot task ou l’expression task force).
Donc, ici, il s’agit bien d’une « tache de naissance » (un signe indélébile sur la peau).

Vous devez employer une préposition avec le verbe à l’infinitif mais vous avez le choix :
– les remarques que vous jugerez bon de formuler : bon est rattaché au verbe formuler (neutre) et ne s’accorde pas (il est bon de formuler ces remarques) ;
– les remarques que vous jugerez bonnes à formuler : bonnes est adjectif attribut du nom remarques et s’accorde avec lui (ces remarques sont bonnes à formuler).
L’absence de préposition est incorrecte. Cette habitude vient peut-être de la locution ancienne « il fait bon vivre » qui est un cas à ne pas imiter. On dit « il est intéressant de suivre ce cours », « il serait bon de partir rapidement », «  »il est utile de sévir », etc.

Le verbe qui suit votre locution doit s’accorder selon le cas car la locution est alternative (ou l’un ou l’autre) :
– s’il n’y a que des sujets au singulier, le verbe est au singulier :
« Ce n’est pas tant moi que mon image qui en souffrira. »
– si le second sujet est au pluriel, le verbe est au pluriel :
« Ce n’est pas tant moi que mes enfants qui en souffriront.« 

Dans votre exemple, le verbe garder est attributif et l’adjectif s’accorde donc avec le sujet : « C’était pour vous garder alertes. »

Quand tout est un adverbe qui se rapporte  à l’adjectif qui suit (au sens de entièrement, exactement), il ne s’accorde pas*, à la différence dudit adjectif  : Ses yeux s’étaient ouverts tout ronds (tout écarquillés, tout grands, tout rouges). Ça fera trois millions tout ronds.
Il se peut en revanche qu’il se trouve pris avec un adjectif dans une locution adverbiale (sens de directement,  sans difficulté). Dans ce cas, c’est l’ensemble qui reste invariable. Je n’en connais que deux exemples : Il a avalé sa soupe tout rond et Les choses n’on pas tourné tout rond. Il semble qu’il y ait parfois contamination de cette construction sur l’accord normal, ce qui donne le résultat erroné dans votre exemple.

* À la réserve près de la bien connue exception avec un féminin commençant par une consonne ou un h aspiré (elle est toute ronde).