Bonjour,
Selon moi,
« On n’a rien dû écouter. » et « On n’a dû rien écouter. » sont possibles, comme « On a tout dû écouter. » et « On a dû tout écouter. » !
Selon moi, la différence est que l’on n’accentue pas le même mot dans les deux phrases.

On a dû tout faire : on a été obligé de tout faire.
On n’a rien dû écouter : c’est une hypothèse.
On a dû tout écouter : c’est une obligation.
On n’a dû rien écouter.  C’est moins correct.

La différence vient de ce que « ne…rien » est  une négation
Aux temps composés la négation encadre l’auxiliaire être ou avoir
Il n’a pas dû écouter – il n’a plus dû écouter – il n’a jamais dû écouter – il n’a rien dû écouter
Dans le cas proposé ici le verbe conjugué est le semi auxiliaire « devoir » : « rien » se place toujours entre l’auxiliaire et le participe passé « dû » :
Il n’a pas dû  écouter – il n’a plus dû écouter – il n’a jamais dû écouter – il n’a rien dû écouter – etc.

Tout n’a pas ce rôle adverbial. Il est simplement pronom COD
Il a tout écouté : on note qu’en effet il s’intercale entre l’auxiliaire et le participe passé comme le font les pronoms : il a mangé une pomme —> il l’a mangée
Avec un semi auxiliaire, le pronom se place après lui : Il a dû tout écouter –  comme : il a dû la manger