— je crains de… = ok, très correct dans un courrier
— absence du mot « pas » dans une négation = style pseudo-littéraire artificiel et inutile ; on dit et on écrit « je crains de ne pas pouvoir… »
— j’ai bien peur de… = familier, très correct, mais pas dans un courrier officiel
— il me serait… = non, rien ne permet le conditionnel dans la proposition en l’absence d’une hypothèse ; mais un simple « il m’est impossible de… » est correct
— faute de temps = correct, mais un peu ancien ; on peut dire actuellement « par manque de temps »
— les démarches de mon inscription = non, il faut un lien plus explicite, par exemple : les démarches nécessaires à mon inscription
— finir des démarches = non (je ne sais pas pourquoi c’est incorrect, mais ça ne se dit pas) ; vous pouvez dire : accomplir des démarches

Si ce n’est qu’une crainte :
— je crains de ne pas pouvoir accomplir l’ensemble des démarches nécessaires à mon inscription
[Peut-être pensez-vous que « je crains de ne pouvoir » est une façon de dire poliment « je ne pourrai pas », mais ce n’est qu’une façon ancienne de parler, légèrement méprisante (un patron pouvait dire « je crains de ne pouvoir accéder à votre demande » pour dire « va te faire foutre »). Cette façon de parler n’a plus cours.]
Si c’est une réalité :
— je ne serai pas en mesure d’accomplir l’ensemble des démarches nécessaires à mon inscription avant le…
Si c’est une réalité que vous déplorez :
— je regrette de pas être en mesure d’accomplir l’ensemble des démarches nécessaires à mon inscription avant le…
— je ne serai hélas pas en mesure d’accomplir l’ensemble des démarches nécessaires à mon inscription avant le…