Je penche pour votre seconde option : comme on dit « il est mécontent de ne pas avoir été reçu à son examen »; on peut dire « il reste affamé de ne rien pouvoir … ».
La langue française a plus d’un tour dans son sac et cette tournure me paraît claire. Bien sûr « ne rien avoir à se mettre sous la dent » est une expression familière.
Ce serait intéressant de savoir où vous avez lu cela.

L’assoiffé reste affamé de ne rien pouvoir se mettre sous la dent.
Il est vrai que cette phrase se mord la queue.
Si on se limite à l’analyse syntaxique, ce « de » est un mot introduisant une infinitive complément de cause.

Si on remplace cette proposition infinitive par une conjonctive :
L’assoiffé reste affamé parce qu’il ne peut rien se mettre sous la dent.

Sur le plan sémantique :
Je suppose que le verbe « rester » est employé de façon plus ou moins impropre; au moins ambigu.
– soit on veut exprimer l’idée : continuer d’être de façon plus ou moins prolongée dans cet état et on emploie ici « demeurer ».
-soit il est mis à tort à la place de « être » ou de « devenir ».
Je suppose qu’il eût fallu écrire quelque chose comme :
l’homme, déjà assoiffé, ne trouvant rien à se mettre sous la dent, souffrait aussi de la faim.