Bonjour,
À quoi répondrait cet homme ? Au millier ou aux questions ? Aux questions, assurément !   « Son regard posait un millier de questions auxquelles  l’homme ne souhaitait pas répondre. »  Dans cet exemple, un millier de a le même sens qu’un adjectif numéral  : « Son regard posait 1 000 questions auxquelles  l’homme ne souhaitait pas répondre.« 
Dans l’exemple ci-après, c’est au contraire le nombre en tant que tel qui provoque le blocage du standard : « Le millier de questions reçues par téléphone a fait sauter le standard.« 

P.S. remplacez millier par quantité et vous entendrez mieux les choix d’accord qui sont les bons.