Le reste de la semaine, puis du mois, se passe.
La conjonction « puis » donne à penser que la semaine s’est mué en mois, imperceptiblement.

Le reste de la semaine, et du mois, se passent.
On a ici nettement le reste de la semaine et le reste du mois.

Considérons la dernière semaine (complète)  d’un mois de 31 jours ; supposons que cette semaine  se termine le 27; Il reste donc 4 jours (les 28, 29, 30, et 31) pour que le mois soit fini.
Ce que je comprends : « le reste de semaine se passe » =  par ex. les journées du 25 au 27  « se passent », puis « le reste du mois », cad les journées  du 28 au 31 « se passent » à leur tour. Dit autrement, vous ne voulez pas dire que « le reste du mois » comprend « le reste de la semaine » plus les journées du 28 au 31.

S’il en est bien ainsi, on a deux sujets biens distincts  qui ne se superposent pas même  partiellement. Je suis alors d’accord avec Tara pour la pluralité du pluriel ( « se passent »).

Au contraire, si « le reste du mois » comprenait « le reste de la semaine » (= on aurait le reste du mois qui irait du 25 au 31 ; on aurait alors  un  un sujet (le reste du mois) qui engloberait l’autre. Dans ce cas, le singulier serait de mise. 
En effet, quand un des deux sujets englobe l’autre, on met le verbe au singulier. Ex. de deux sujets dont l’un englobe le second « spatialement » (et non pas « temporellement » : pour ça, v.  ci-dessus) : La Provence, et particulièrement la région de Châteauneuf, nous propose d’excellents vins. 

 Anouck, est-ce bien ce que vous avez voulu dire ou pas dire (cf.  mon 1er §). 
Tara, est-ce bien comme moi que vous avez compris la phrase d’Anouck ?  Par ailleurs, qu’avez-voulu dire précisément par « la semaine s’est muée en mois » ? 

Merci.

Prince, comme dit par Tara, le sens est plutôt « que la semaine s’est muée en mois, imperceptiblement. »
Et on est au 12 du mois.