Vous utilisez ici la forme impersonnelle : « il me reste », « il reste que », « il lui reste », etc.
Le pronom indéfini il ne doit donc pas disparaitre dans le pronom qui qui le précède et qui se rapporte à sa fille.
La bonne forme est donc  « enfin, celle qu’il lui reste » en particulier à l’écrit puisqu’à l’oral la différence est presque inaudible.

Vous avez le choix, selon que vous optez pour la forme personnelle ou celle impersonnelle.

Forme personnelle
Celle qui lui reste = Une fille lui reste, ce sera celle-là.

Forme impersonnelle
Celle qu’il lui reste = Il lui reste une fille, ce sera celle-là.

Ces deux phrases complexes ne sont pas construites à partir des mêmes phrases de base. Elles sont toutes les deux correctes.
1 Nous serons chapeautés par la fille qui lui reste.
– nous serons chapeautés par la fille.
– cette fille lui reste

2Nous serons chapeautés par la fille qu’il lui reste.
– Nous serons chapeautés par la fille
– Il lui reste cette fille

Merci à tous pour vos réponses éclairées. Étant donné le contexte, dialogues affectés  manquant de naturel dans le milieu bourgeois du 19°, je vais opter pour la version avec le pronom personnel. La plateforme est extra et vous êtes vraiment des stars!!!