Dans la vie professionnelle, on obtient des responsabilités. Donc, on a un poste à responsabilités…même si l’on peut dire « la responsabilité du service ».
Il en va différemment dans le cadre privé ou le champ moral : s’occuper d’enfants est une grande responsabilité ou encore « ce choix implique une responsabilité ».
Pour votre expression, mettez le pluriel, vous n’aurez pas de soucis.